เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี r จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม t ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]

และเนื่องจาก

d x d t = r ( 1 − cos ⁡ t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}

เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหาปริพันธ์ดังนี้

A = ∫ t = 0 t = 2 π y d x = ∫ t = 0 t = 2 π r 2 ( 1 − cos ⁡ t ) 2 d t = r 2 ( 3 2 t − 2 sin ⁡ t + 1 2 cos ⁡ t sin ⁡ t ) | t = 0 t = 2 π = 3 π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}\end{aligned}}}

นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม