การคูณของจำนวน 0-10 ตัวกำกับเส้น = ตัวตั้ง แกน X = ตัวคูณ แกน Y = ผลคูณ

สำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน รวมทั้งจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะ การคูณมีสมบัติต่อไปนี้:

สมบัติการสลับที่ผลลัพธ์ของการคูณไม่ขึ้นกับลำดับของตัวตั้งและตัวคูณ: x ⋅ y = y ⋅ x {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x} สมบัติการเปลี่ยนหมู่ลำดับการดำเนินการคูณ(หรือการบวก)ไม่มีผลต่อผลลัพธ์: ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} สมบัติการแจกแจงเป็นจริงกับการคูณเหนือการบวก สมบัตินี้สำคัญมากเพราะใช้ทำให้นิพจน์พีชคณิตอยู่ในรูปอย่างง่าย: x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} เอกลักษณ์การคูณเอกลักษณ์การคูณคือ 1 จำนวนใด ๆ คูณด้วยหนึ่งได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนนั้น อาจเรียกสมบัตินี้ว่าสมบัติเอกลักษณ์: x ⋅ 1 = x {\displaystyle x\cdot 1=x} สมาชิกศูนย์จำนวนใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ สมบัตินี้เรียกว่าสมบัติการคูณด้วยศูนย์: x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0} จำนวนธรรมชาติอาจรวมศูนย์หรือไม่ก็ได้

สมบัติบางประการของการคูณอาจเป็นจริงสำหรับจำนวนบางระบบเท่านั้น

นิเสธลบหนึ่งคูณกับจำนวนใด ๆ เท่ากับตัวผกผันการบวกของจำนวนนั้น ( − 1 ) ⋅ x = ( − x ) {\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)} ลบหนึ่งคูณลบหนึ่งเป็นบวกหนึ่ง ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1} จำนวนธรรมชาติไม่รวมจำนวนลบตัวผกผันจำนวน x {\displaystyle x} ใด ๆ นอกเหนือจากศูนย์ มีตัวผกผันการคูณคือ 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} ที่ x ⋅ ( 1 x ) = 1 {\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1} การคงการเรียงอันดับการคูณด้วยจำนวนบวกคงอันดับความมากน้อย:ถ้า a > 0 {\displaystyle a>0} แล้ว(ถ้า b > c {\displaystyle b>c} แล้ว a b > a c {\displaystyle ab>ac} )การคูณด้วยจำนวนลบสลับอันดับความมากน้อย:ถ้า a < 0 {\displaystyle a<0} แล้ว(ถ้า b > c {\displaystyle b>c} แล้ว a b < a c {\displaystyle ab<ac} )ไม่มีการเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อน

ระบบคณิตศาสตร์นอกเหนือจากนี้ที่มีการดำเนินการคูณอาจไม่มีสมบัตินี้ทั้งหมด เช่นการคูณไม่มีสมบัติการสลับที่สำหรับเมทริกซ์และควอเทอร์เนียน