ในส่วนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะตามแนวคิดดั้งเดิมในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเท่านั้น นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนคือลำดับที่มีการจัดอันดับ ของสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซตจำกัดโดยไม่มีการเลือกซ้ำ และไม่สำคัญว่าจะต้องใช้สมาชิกทุกตัว ตัวอย่างเช่น สมมติกำหนดให้เซตของตัวอักษร {C, E, G, I, N, R} การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วนของเซตนี้เช่น ICE, RING, RICE, NICER, REIGN และ CRINGE เป็นต้น หรือแม้แต่ RNCGI ซึ่งเป็นลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีคำที่มีความหมาย ส่วนคำว่า ENGINE ไม่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเพราะว่ามีสมาชิก E กับ N ซ้ำสองครั้ง

ถ้าให้ n แทนขนาดของเซต นั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีในเซต การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ที่ "ใช้สมาชิกทั้งหมดทุกตัว" ในครั้งแรกจะมีตัวเลือกทั้งหมด n ตัวสำหรับสมาชิกของลำดับตัวที่หนึ่ง และเมื่อสมาชิกตัวที่หนึ่งถูกเลือกไปแล้ว จะเหลือสมาชิก n − 1 ตัวสำหรับลำดับตัวที่สอง เมื่อสมาชิกถูกเลือกไปแล้วสองตัว การเรียงสับเปลี่ยนจึงสามารถเป็นไปได้

n × (n − 1) วิธี

สมาชิกตัวถัดไปของลำดับก็เลือกได้ n − 2 วิธี, n − 3 วิธี ฯลฯ อย่างนี้เรื่อยไปจนเหลือสมาชิกตัวสุดท้ายในเซตเพียงตัวเดียว การเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้สมาชิกทั้งหมดจึงเป็นไปได้

n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 = n! วิธี

"!" คือแฟกทอเรียล ในกรณีที่การเรียงสับเปลี่ยนไม่ได้ใช้สมาชิกทุกตัวในเซต กำหนดให้ r เป็นจำนวนสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซต (0 ≤ r ≤ n) จำนวนตัวเลือกในการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ จึงหยุดลงเมื่อได้สมาชิกครบ r ตัว ดังนี้

n × (n − 1) × (n − 2) × … × (n − r + 1) วิธี

จำนวนที่หายไปคือ (n − r) × (n − r − 1) × … × 2 × 1 = (n − r)! นั่นคือเราต้องเอาจำนวนนี้ไปหารออกจาก n! จึงจะได้จำนวนวิธีที่เหลือ สรุปได้เป็น

P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! {\displaystyle \mathbf {P} (n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}}

เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์หลายแบบเช่น P ( n , r )   ;   n P r   ;   P r n   ;   ( n ) r {\displaystyle \mathbf {P} (n,r)\ ;\ _{n}\mathbf {P} _{r}\ ;\ \mathbf {P} _{r}^{n}\ ;\ (n)_{r}}

ในกรณีที่ n = r สูตรดังกล่าวจะกลายเป็น

P ( n , n ) = n ! 0 ! = n ! 1 = n ! {\displaystyle \mathbf {P} (n,n)={\frac {n!}{0!}}={\frac {n!}{1}}=n!}

ด้วยเหตุผลว่า 0! = 1 เนื่องจาก 0! คือผลคูณว่างซึ่งจะเท่ากับ 1 เสมอ