ในที่นี้เรากำหนดให้ f ( t ) = cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}

F ( z , m ) = Z { cos ⁡ ( ω ( k T + m ) ) } = Z { cos ⁡ ( ω k T ) cos ⁡ ( ω m ) − sin ⁡ ( ω k T ) sin ⁡ ( ω m ) } = cos ⁡ ( ω m ) Z { cos ⁡ ( ω k T ) } − sin ⁡ ( ω m ) Z { sin ⁡ ( ω k T ) } = cos ⁡ ( ω m ) z ( z − cos ⁡ ( ω T ) ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 − sin ⁡ ( ω m ) z sin ⁡ ( ω T ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 = z 2 cos ⁡ ( ω m ) − z cos ⁡ ( ω ( T − m ) ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\=&\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\=&\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\=&{\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\end{aligned}}} .

ถ้า m = 0 {\displaystyle m=0} แล้ว F ( z , m ) {\displaystyle F(z,m)} จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

F ( z , 0 ) = z 2 − z cos ⁡ ( ω T ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 {\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ f ( t ) . {\displaystyle f(t).} นั้นเอง