สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

F ( k ) = ( 1 2 π ) N ∫ R N f ( x ) e − i k ⋅ x d x {\displaystyle F(\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(\mathbf {x} )\,e^{-i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

δ ( k ) = ( 1 2 π ) N ∫ R N e ± i k ⋅ x d x {\displaystyle \delta (\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{\pm i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

f ( x ) = ( 1 2 π ) N ∫ R N F ( k ) e + i k ⋅ x d k {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(\mathbf {k} )\,e^{+i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {k} }