นิยาม ของ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	การแปลงกลับ
F { f ( t ) } = F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt}	F − 1 { F ( ω ) } = f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega }

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ 1 / 2 π {\displaystyle \,1/2\pi \,} เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ 1 / 2 π {\displaystyle \,1/2\pi \,} (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ ν {\displaystyle \nu } แทนความถี่โดยที่ f = 2 π ω {\displaystyle f=2\pi \omega }

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

**สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย**
ความถี่เชิงมุม ω {\displaystyle \omega \,} (rad/s)	ยูนิแทรี	X 1 ( ω ) = d e f 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i ω t d t = 1 2 π X 2 ( ω ) = 1 2 π X 3 ( ω 2 π ) {\displaystyle X_{1}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\,dt\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,} x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X 1 ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1}(\omega )\ e^{i\omega t}\,d\omega \ }
ไม่เป็นยูนิแทรี	X 2 ( ω ) = d e f ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i ω t d t = 2 π X 1 ( ω ) = X 3 ( ω 2 π ) {\displaystyle X_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(\omega )=X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,} x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X 2 ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{2}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega \ }
ความถี่ f {\displaystyle f\,} (hertz)	ยูนิแทรี	X 3 ( f ) = d e f ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i 2 π f t d t = 2 π X 1 ( 2 π f ) = X 2 ( 2 π f ) {\displaystyle X_{3}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(2\pi f)=X_{2}(2\pi f)\,} x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ X 3 ( f ) e i 2 π f t d f {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X_{3}(f)\ e^{i2\pi ft}\,df\ }

รูปทั่วไป

คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

F ( ω ) = | b | ( 2 π ) 1 − a ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i b ω t d t {\displaystyle F(\omega )={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ib\omega t}\,dt}

f ( t ) = | b | ( 2 π ) 1 + a ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e i b ω t d ω {\displaystyle f(t)={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{ib\omega t}\,d\omega }

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก ( a , b ) = ( 0 , 1 ) {\displaystyle (a,b)=(0,1)} สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี ( a , b ) = ( 1 , 1 ) {\displaystyle (a,b)=(1,1)}

ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ ( a , b ) = ( 0 , 2 π ) {\displaystyle (a,b)=(0,2\pi )} ซึ่งในกรณีนี้ ω {\displaystyle \omega } จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ ν {\displaystyle \nu } หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที