เมนูนำทาง
จำนวนธรรมชาติ นิยามอย่างเป็นรูปนัยนิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใดๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่
สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:
หมายเหตุ 0 {\displaystyle 0} ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป 0 {\displaystyle 0} หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามรูปแบบเชิงตรรก อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่าแบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน และยืนยันโดยUpward Löwenheim-Skolem Theorem ชื่อ 0 {\displaystyle 0} ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก 1 {\displaystyle 1} ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก 2 {\displaystyle 2} ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย 1 {\displaystyle 1} ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ 0 {\displaystyle 0} ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ 1 {\displaystyle 1} สัญลักษณ์ S ( 0 ) {\displaystyle S(0)} ถือเป็น 2 {\displaystyle 2} ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรกคือ 1 {\displaystyle 1}
การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้างเรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์[1] กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:
กำหนด 0 := { } เป็นเซตว่างและนิยาม S(a) = a ∪ {a} สำหรับทุกเซต a S(a) คือตัวตามหลัง a และเรียก S ว่า ฟังก์ชันตัวตามหลังโดยสัจพจน์ของอนันต์ เซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีอยู่ เซตนี้คืออินเตอร์เซกชันของทุกเซตที่มีสมบัติปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตามหลัง จึงสอดคล้องสัจพจน์ของเปอาโนทุกจำนวนธรรมชาติเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้นๆ นั่นคือเมนูนำทาง
จำนวนธรรมชาติ นิยามอย่างเป็นรูปนัยใกล้เคียง
จำนวน จำนวนเฉพาะ จำนวนจุดลอยตัว จำนวนจริง จำนวนเต็ม จำนวนธรรมชาติ จำนวนฟีโบนัชชี จำนวนเชิงซ้อน จำนวนเฉพาะแมร์แซน จำนวนจินตภาพแหล่งที่มา
WikiPedia: จำนวนธรรมชาติ http://www.apronus.com/provenmath/naturalaxioms.ht... http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html http://www.gutenberg.org/etext/21016