โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ กล่าวคือ

F ( n + 1 ) F ( n ) {\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}} ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ φ {\displaystyle \varphi }

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0} เราได้ว่า

lim n → ∞ F a , b ( n + 1 ) F a , b ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}}}	= lim n → ∞ a φ n + 1 − b ( 1 − φ ) n + 1 a φ n − b ( 1 − φ ) n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}}
	= lim n → ∞ a φ − b ( 1 − φ ) ( 1 − φ φ ) n a − b ( 1 − φ φ ) n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}}
	= φ {\displaystyle =\varphi } ,

เนื่องจาก | 1 − φ φ | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1} ดังนั้น lim n → ∞ ( 1 − φ φ ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}=0}

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ F a , b {\displaystyle F_{a,b}} เมื่อ a = 1 / 5 {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} และ b = − 1 / 5 {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย