เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}

โดย φ = ( 1 + 5 ) / 2 ≈ 1.618 {\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618} เป็นตัวÀàÂÂĎĎĎ

พิจารณาสมการพหุนาม x 2 = x + 1 {\displaystyle x^{2}=x+1} เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย x n − 1 {\displaystyle x^{n-1}} เราได้ว่า

x n + 1 = x n + x n − 1 {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}

ผลเฉลยของสมการ x 2 = x + 1 {\displaystyle x^{2}=x+1} ได้แก่ φ {\displaystyle \varphi } และ 1 − φ {\displaystyle 1-\varphi } ดังนั้น

φ n + 1 {\displaystyle \varphi ^{n+1}\,}	= φ n + φ n − 1 {\displaystyle \varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,} และ
( 1 − φ ) n + 1 {\displaystyle (1-\varphi )^{n+1}\,}	= ( 1 − φ ) n + ( 1 − φ ) n − 1 {\displaystyle (1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,}

พิจารณาฟังก์ชัน

F a , b ( n ) = a φ n + b ( 1 − φ ) n {\displaystyle F_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}} เมื่อ a {\displaystyle a} และ b {\displaystyle b} เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

F a , b ( n + 1 ) {\displaystyle F_{a,b}(n+1)\,}	= a φ n + 1 + b ( 1 − φ ) n + 1 {\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}}
	= a ( φ n + φ n − 1 ) + b ( ( 1 − φ ) n + ( 1 − φ ) n − 1 ) {\displaystyle =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})}
	= a φ n + b ( 1 − φ ) n + a φ n − 1 + b ( 1 − φ ) n − 1 {\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}}
	= F a , b ( n ) + F a , b ( n − 1 ) {\displaystyle =F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,}

เลือก a = 1 / 5 {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} and b = − 1 / 5 {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} เราได้ว่า

F a , b ( 0 ) = 1 5 − 1 5 = 0 = F ( 0 ) {\displaystyle F_{a,b}(0)={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0=F(0)\,\!}

และ

F a , b ( 1 ) = φ 5 − ( 1 − φ ) 5 = − 1 + 2 φ 5 = − 1 + ( 1 + 5 ) 5 = 1 = F ( 1 ) {\displaystyle F_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1=F(1)}

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ F a , b ( n ) = F ( n ) {\displaystyle F_{a,b}(n)=F(n)} และใช้เอกลักษณ์ของ F a , b {\displaystyle F_{a,b}} พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}} สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ n {\displaystyle n} ทุกตัว

เนื่องจาก | 1 − φ | n / 5 < 1 / 2 {\displaystyle |1-\varphi |^{n}/{\sqrt {5}}<1/2} สำหรับทุกๆ n > 0 {\displaystyle n>0\,\!} เราจึงได้ว่า F n {\displaystyle F_{n}\,\!} จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ φ n / 5 {\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}} ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

F ( n ) = ⌊ φ n 5 + 1 2 ⌋ {\displaystyle F(n)={\bigg \lfloor }{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}{\bigg \rfloor }}