ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} เราเรียก a {\displaystyle a} ว่า ส่วนจริง ของ z {\displaystyle z} เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} และเราเรียก b {\displaystyle b} ว่า ส่วนจินตภาพ ของ z {\displaystyle z} เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z {\displaystyle z} คือ a − b i {\displaystyle a-bi\,} เราเขียนแทนสังยุคของ z {\displaystyle z} ด้วย z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. z 1 + z 2 ¯ = z ¯ 1 + z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}}
2. z 1 z 2 ¯ = z ¯ 1 z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}{\bar {z}}_{2}}
3. z + z ¯ = 2 ℜ ( z ) {\displaystyle z+{\bar {z}}=2\Re (z)}
4. z − z ¯ = 2 ℑ ( z ) {\displaystyle z-{\bar {z}}=2\Im (z)}

เมื่อ z {\displaystyle z} , z 1 {\displaystyle z_{1}} , z 2 {\displaystyle z_{2}} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} เขียนแทนด้วย | z | {\displaystyle |z|} คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. | z | = | z ¯ | {\displaystyle \left|z\right\vert =\left|{\bar {z}}\right\vert }
3. | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle \left|z_{1}z_{2}\right\vert =\left|z_{1}\right\vert \left|z_{2}\right\vert }
4. | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right\vert \leq \;\left|z_{1}\right\vert +\left|z_{2}\right\vert } (อสมการสามเหลี่ยม)
5. | z 1 − z 2 | ≥ | | z 1 | − | z 2 | | {\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right\vert \geq \;{\big |}\left|z_{1}\right\vert -\left|z_{2}\right\vert {\big |}}
6. | z | = 0 {\displaystyle \left|z\right\vert =0} ก็ต่อเมื่อ z = 0 {\displaystyle z=0\,}

เมื่อ z {\displaystyle z} , z 1 {\displaystyle z_{1}} , และ z 2 {\displaystyle z_{2}} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง a {\displaystyle a} ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} ทำให้เราได้ว่าถ้า z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0}

z − 1 = z ¯ | z | 2 {\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} คือ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ ( r , φ ) {\displaystyle (r,\varphi )\,} เมื่อ r = | z | {\displaystyle r=|z|} และ φ {\displaystyle \varphi \,} เป็นมุมที่เวกเตอร์ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ทำกับแกน x {\displaystyle x} ในหน่วยเรเดียน เราเรียก φ {\displaystyle \varphi \,} ว่า อาร์กิวเมนต์ของ z {\displaystyle z} และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \arg(z)} สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ 2 π {\displaystyle 2\pi } จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

z = a + b i = r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) = r e i φ {\displaystyle z=a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }\,}

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

r 1 e i φ 1 ⋅ r 2 e i φ 2 = r 1 r 2 e i ( φ 1 + φ 2 ) = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) ) {\displaystyle r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))}

และ

r 1 e i φ 1 r 2 e i ϕ 2 = r 1 r 2 e i ( φ 1 − φ 2 ) = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 − φ 2 ) + i sin ⁡ ( φ 1 − φ 2 ) ) {\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))}

เมื่อ r 2 ≠ 0 {\displaystyle r_{2}\neq 0} ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย i = e i π / 2 {\displaystyle i=e^{i\pi /2}} จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "