ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน C {\displaystyle \mathbb {C} } ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ทั้งหมดโดยที่ a {\displaystyle a} และ b {\displaystyle b} เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ + {\displaystyle +} (การบวก) และ ⋅ {\displaystyle \cdot } (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} และ ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) {\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,} ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c ) {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,}

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)}
• อินเวอร์สการบวกของ z = ( a , b ) {\displaystyle z=(a,b)} (เขียนแทนด้วย − z {\displaystyle -z} ) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก z = ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle z=(a,b)\neq (0,0)} อินเวอร์สการคูณของ z {\displaystyle z} (เขียนแทนด้วย z − 1 {\displaystyle z^{-1}} ) คือ ( a a 2 + b 2 , − b a 2 + b 2 ) {\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)}

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

c ( a , b ) = ( c a , c b ) = ( a , b ) c {\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,} เมื่อ c {\displaystyle c} เป็นจำนวนจริงและ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} และ ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

( a , b ) = a ( 1 , 0 ) + b ( 0 , 1 ) {\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,}

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ( a , 0 ) = a ( 1 , 0 ) {\displaystyle (a,0)=a(1,0)} ว่าเป็นจำนวนจริง a {\displaystyle a} (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ i {\displaystyle i} แทน ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} จำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า a + b i {\displaystyle a+bi} ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า i 2 = ( − 1 , 0 ) = − 1 {\displaystyle i^{2}=(-1,0)=-1} นั่นคือ i {\displaystyle i} เป็นคำตอบของสมการ x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} กับไอดีล ( x 2 + 1 ) {\displaystyle (x^{2}+1)} เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

C = R [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}