เมนูนำทาง
ทฤษฎีเมเชอร์
μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E1 และ E2 เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E1 ⊆ E2, แล้ว μ (E1) ≤ μ (E2).
คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ
กำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า
μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})} .นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน Σ และ E n ⊆ E n + 1 , ∀ n ∈ N {\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} } , แล้วจะได้ว่า ⋃ n = 1 ∞ E n {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน Σ ด้วยและ
μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})} .กำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน Σ และ E n + 1 ⊆ E n , ∀ n ∈ N {\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} } , แล้วจะได้ว่า ⋂ n = 1 ∞ E n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก E n {\displaystyle E_{n}} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า
μ ( ⋂ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})} .คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก E n {\displaystyle E_{n}} ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,
E n = [ n , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }เราจะได้ว่าทุก ๆ E n {\displaystyle E_{n}} มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
เมนูนำทาง
ทฤษฎีเมเชอร์ใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: ทฤษฎีเมเชอร์