นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์ ของ ทฤษฎีเมเชอร์

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.

นิยามอย่างเป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์: μ คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ∞] และ μ ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1. เซตว่างมีปริมาณที่วัดได้เท่ากับศูนย์ (หรือเรียกว่ามี เมเชอร์เท่ากับศูนย์) :

μ ( ∅ ) = 0 ; {\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}

2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน Σ แล้ว,

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}

เราจะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อนิยามปริภูมิเมเชอร์ หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิเมเชอร์ประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).

หมายเหตุ: ปริภูมิความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันเมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ

μ ( X ) = 1. {\displaystyle \mu (X)=1.}

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย .