การอ้างเหตุผลด้านล่างดัดแปลงจากการอ้างเหตุผลของพอล ฮาลโมส [7]

ความน่าจะเป็นที่ไม่มีวันเกิดของคนใดตรงกัน ดังที่ได้อธิบายไว้ด้านบนคือ

1 − p ( n ) = p ¯ ( n ) = ∏ k = 1 n − 1 ( 1 − k 365 ) {\displaystyle 1-p(n)={\bar {p}}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}

จากย่อหน้าก่อน ๆ นั้น สิ่งที่สนใจคือค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ p(n) > 1/2 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ p̅(n) < 1/2

ใช้อสมการ 1 − x < e−x จากนิพจน์ด้านบนซึ่งเราได้แทนค่า 1 − k/365 ด้วย e−k/365 จะได้ว่า

p ¯ ( n ) = ∏ k = 1 n − 1 ( 1 − k 365 ) < ∏ k = 1 n − 1 ( e − k / 365 ) = e − ( n ( n − 1 ) ) / ( 2 × 365 ) {\displaystyle {\bar {p}}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)<\prod _{k=1}^{n-1}\left(e^{-k/365}\right)=e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}}

เพราะฉะนั้น นิพจน์ดังกล่าวมิได้เป็นเพียงแค่การประมาณค่า แต่ยังเป็นขอบเขตบนของ p̅(n) ด้วย

อสมการนี้

e − ( n ( n − 1 ) ) / ( 2 ⋅ 365 ) < 1 2 {\displaystyle e^{-(n(n-1))/(2\cdot 365)}<{\frac {1}{2}}}

แสดงนัยถึง p̅(n) < 1/2 แก้อสมการเพื่อหาค่า n จะได้

n 2 − n > 2 × 365 ln ⁡ 2 {\displaystyle n^{2}-n>2\times 365\ln 2\,\!}

730 ln 2 มีค่าประมาณ 505.997 ซึ่งน้อยกว่า 506 เล็กน้อย ค่าของ n2 − n ขึ้นมาถึง 506 เมื่อ n = 23 ดังนั้น 23 คนก็เพียงพอที่จะเป็นคำตอบ

อย่างไรก็ดี การแก้สมการ n2 − n = 2 · 365 ln 2 เพื่อหาค่า n ก็จะเป็นสูตรประมาณของแฟรงก์ เอช. แมทิส ดังที่ได้แสดงไว้แล้ว

การได้มานี้แสดงเพียงว่า 23 คนเป็นจำนวนคนที่ มากสุด ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าวันเกิดจะตรงกันด้วยโอกาสครึ่งต่อครึ่ง กล่าวคือมันเปิดโอกาสความเป็นไปได้ว่าหาก n เท่ากับ 22 คนหรือน้อยกว่าก็อาจได้ผลเช่นกัน