ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ x, y เป็นจำนวนจริง k, m, n เป็นจำนวนเต็ม และ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)

ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้

⌊ x ⌋ = min { n ∈ Z ∣ n ≤ x } {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}} ⌈ x ⌉ = max { n ∈ Z ∣ n ≥ x } {\displaystyle \lceil x\rceil =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}

เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้

x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1 {\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1\,\!}

เราจะได้ ⌊ x ⌋ = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m} และ ⌈ x ⌉ = n {\displaystyle \lceil x\rceil =n} ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน

นอกจากนี้ก็ยังมี { x } = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor } และ x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }

การเทียบเท่า

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์ [10]

⌊ x ⌋ = n ⟺ n ≤ x < n + 1 ⌈ x ⌉ = n ⟺ n − 1 < x ≤ n ⌊ x ⌋ = n ⟺ x − 1 < n ≤ x ⌈ x ⌉ = n ⟺ x ≤ n < x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\iff &n&\leq x<n+1\\\lceil x\rceil =n&\iff &n-1&<x\leq n\\\lfloor x\rfloor =n&\iff &x-1&<n\leq x\\\lceil x\rceil =n&\iff &x&\leq n<x+1\\\end{aligned}}}

และสำหรับอสมการ

x < n ⟺ ⌊ x ⌋ < n n < x ⟺ n < ⌈ x ⌉ x ≤ n ⟺ ⌈ x ⌉ ≤ n n ≤ x ⟺ n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\iff &\lfloor x\rfloor &<n\\n<x&\iff &n&<\lceil x\rceil \\x\leq n&\iff &\lceil x\rceil &\leq n\\n\leq x&\iff &n&\leq \lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม n ภายในฟังก์ชัน

⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n { x + n } = { x } {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n\\\{x+n\}&=\{x\}\\\end{aligned}}}

อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน

⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ {\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \\\end{aligned}}}

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน

จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า

⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil } กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}

สำหรับจำนวนเต็ม n ประโยคนี้จะเป็นจริง

⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n}

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน

⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = 0 {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0} ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { 0  if  x ∈ Z − 1  if  x ∉ Z {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน

{ x } + { − x } = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}

ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล

⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ { { x } } = { x } {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor \\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil \\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}\\\end{aligned}}}

ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด

⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉ ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil \\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}

กำหนดให้ y มีค่าคงตัว x mod y จะเป็นนิจพล

( x mod y ) mod y = x mod y {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y}

และจากนิยาม

{ x } = x mod 1 {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1}

ผลหาร

ถ้า n ≠ 0 แล้ว

0 ≤ { m n } ≤ 1 − 1 | n | {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}}

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก [11]

⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor } ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil }

ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก [12]

n = ⌈ n m ⌉ + ⌈ n − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n − m + 1 m ⌉ {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil } n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }

ซึ่งเมื่อ m = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้

n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }

กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก m [13]

⌈ m x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x − m − 1 m ⌉ {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil } ⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }

สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก [14]

⌈ n m ⌉ = ⌊ n + m − 1 m ⌋ = ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1} ⌊ n m ⌋ = ⌈ n − m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ − 1 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1}

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้

∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = 1 2 ( m − 1 ) ( n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1)}

เนื่องจากสูตรข้างต้น m และ n มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้

⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ n m ⌋ + ⌊ 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n m ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor }

และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

⌊ x n ⌋ + ⌊ m + x n ⌋ + ⌊ 2 m + x n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m + x n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor }    = ⌊ x m ⌋ + ⌊ n + x m ⌋ + ⌊ 2 n + x m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n + x m ⌋ {\displaystyle =\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor }

สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน [15]

ผลหารซ้อน

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n และจำนวนจริง x

⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ x m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } ⌈ ⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ x m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }

ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x⌋ กับ ⌈x⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว

⌊x⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x⌉ กับ {x} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ

การกระจายอนุกรม

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย

สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ [16]

x mod y = y 2 − y π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x y ) k {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}}

ด้วยสมบัติที่ว่า {x} = x mod 1 ดังนั้นจะได้

{ x } = 1 2 − 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}

ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง

จากสูตรที่ว่า {x} = x − ⌊x⌋ จึงสรุปได้ว่า

⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}