กำหนดให้ x ∗ = 0 {\displaystyle x^{*}=0\,} เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,} และให้ V ˙ ( x ) = ∂ V ∂ x ⋅ d x d t = ∇ V ⋅ x ˙ = ∇ V ⋅ f ( x ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x)}

เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน V {\displaystyle V}

เสถียรภาพของจุดสมดุล

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

V ˙ ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 } {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}

สำหรับย่าน B {\displaystyle {\mathcal {B}}} รอบจุด 0 {\displaystyle 0} จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

V ˙ ( x ) < 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 } {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}

สำหรับย่าน B {\displaystyle {\mathcal {B}}} รอบจุด 0 {\displaystyle 0} จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

V ˙ ( x ) < 0 ∀ x ∈ R n ∖ { 0 } , {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}

จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)

หมายเหตุ :ฟังก์ชันพลังงาน V ( x ) {\displaystyle V(x)} จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก ‖ x ‖ → ∞ ⇒ V ( x ) → ∞ {\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty }