เมนูนำทาง
ภาวะคู่กันปวงกาเร ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันนิยมกล่าวผ่านฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยี
ภาวะคู่กันปวงกาเร — ให้ M {\displaystyle M} เป็นแมนิโฟลด์มิติ n {\displaystyle n} ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ แล้วจะมีฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุป H k ( M , Z ) → H n − k ( M , Z ) {\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )} ในรูปแบบบัญญัติสำหรับทุกจำนวนเต็ม k {\displaystyle k}
เพื่อนิยามฟังก์ชันสมสัณฐานดังกล่าว เราเลือกชั้นมูลฐาน (fundamental class) [ M ] {\displaystyle [M]} ของ M {\displaystyle M} ซึ่งนิยามถ้า M {\displaystyle M} กำหนดทิศทางได้ จะได้ว่าฟังก์ชันสมสัณฐานเป็นการส่งสมาชิก α ∈ H k ( M ) {\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)} ไปยังผลคูณหมวก [ M ] ⌢ α {\displaystyle [M]\frown \alpha } .[1]
กรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีนิยามให้เป็นศูนย์สำหรับดีกรีเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้นภาวะคู่กันของปวงกาเรจึงบ่งว่ากรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์มิติ n {\displaystyle n} ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดีกรีที่สูงกว่า n {\displaystyle n}
ในรูปแบบข้างต้นกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แต่ภาวะสมสัณฐาณนี้เป็นจริงไม่ว่าใช้ริงสัมประสิทธิ์ใด ๆ ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ไม่กระชับ จะต้องเปลี่ยนฮอมอโลยีเป็น Borel–Moore homology
H i ( X ) → ≅ H n − i B M ( X ) {\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}หรือเปลี่ยนคอฮอมอโลยีเป็นคอฮอมอโลยีมีส่วนค้ำจุนกระชับ (cohomology with compact support)
H c i ( X ) → ≅ H n − i ( X ) {\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X)}เมนูนำทาง
ภาวะคู่กันปวงกาเร ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันใกล้เคียง
ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 ภาวะคอเลสเตอรอลสูงในเลือด ภาวะความเป็นชายเป็นพิษ ภาวะคู่หรือคี่ (คณิตศาสตร์) ภาวะคู่กันปวงกาเร ภาวะคอนเวกซ์ (เศรษฐศาสตร์) ภาวะความดันเลือดสูง ภาวะคันต่างที่ ภาวะคาร์บอนมอนอกไซด์พิษ ภาวะคิดว่าตนเขื่องแหล่งที่มา
WikiPedia: ภาวะคู่กันปวงกาเร https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.ht... https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1... https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0... https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1... https://doi.org/10.2307%2F1969966 https://www.jstor.org/stable/1969966