เรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 มักมีการสอนในระดับประถมศึกษาสองหรือสามปีแรก ซึ่งเป็นขณะที่มีการนำเสนอและเรียนรู้มโนทัศน์จำนวนคู่และคี่[34]

ความรู้ของนักเรียน

แผนภาพด้านขวามือ[33] แสดงความเชื่อของเด็กเกี่ยวกับภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เมื่อพวกเขาผ่านจากปี 1 ถึงปี 6 ของระบบการศึกษาอังกฤษ ข้อมูลนี้ได้จากเล็น โฟรบิเชอร์ ซึ่งทำการสำรวจเด็กนักเรียนชาวอังกฤษ โฟรบิเชอร์สนใจว่าความรู้ภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวเปลี่ยนเป็นความรู้ว่าด้วยภาวะคู่หรือคี่เลขโดดหลายตัวอย่างไร และ 0 มีส่วนสำคัญในผลลัพธ์ดังกล่าว

ในการสำรวจขั้นต้นเด็กนักเรียน 7 ขวบเกือบ 400 คน มี 45% เลือกตอบคู่เมื่อถูกถามเรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0[35] การสำรวจติดตามให้คำตอบเพิ่มขึ้น คือ ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่ เป็นทั้งคู่และคี่และไม่ทราบ ครั้งนี้จำนวนเด็กในพิสัยอายุเดียวกันที่บอกว่า 0 เป็นคู่ลดลงเหลือ 32%[36] ความสำเร็จในการตัดสินว่า 0 เป็นคู่นั้นทีแรกเพิ่มขึ้นแล้วคงที่อยู่ประมาณ 50% ในปีที่ 3 ถึงปีที่ 6[37] เมื่อเทียบกับการระบุภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวซึ่งเป็นงานที่ง่ายที่สุด ความสำเร็จอยู่ที่ประมาณ 85%[38]

ในการสัมภาษณ์ โฟรบิเชอร์ค้นหาการให้เหตุผลของนักเรียน นักเรียนปี 5 คนหนึ่งตัดสินว่า 0 เป็นคู่เพราะพบในสูตรคูณแม่ 2 นักเรียนปี 4 สองคนพบว่า 0 สามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนเท่ากัน นักเรียนปี 4 อีกคนหนึ่งให้เหตุผลว่า "1 เป็นคี่และถ้าฉันนับถอยหลังมา มันจะเป็นคู่"[39] การสัมภาษณ์ยังเปิดเผยความเข้าใจผิดเบื้องหลังคำตอบผิดด้วย นักเรียนปี 2 คนหนึ่ง "ค่อนข้างเชื่อมั่น" ว่า 0 เป็นคี่ บนเหตุผลว่า "มันเป็นเลขแรกที่คุณนับ"[40] นักเรียนปี 4 คนหนึ่งเรียก 0 ว่า "ไม่มี" และคิดว่าไม่เป็นทั้งคี่หรือคู่ เพราะ "มันไม่ใช่จำนวน"[41] ในอีกการศึกษาหนึ่ง แอนนี คีธสังเกตชั้นเรียนนักเรียนปี 2 จำนวน 15 คนซึ่งชักจูงกันและกันว่า 0 เป็นจำนวนคู่โดยอาศัยการสลับคู่-คี่และความเป็นไปได้ในการแบ่งกลุ่มวัตถุ 0 วัตถุออกเป็นสองกลุ่มเท่ากัน[42]

มีการศึกษาเชิงลึกกว่าโดยเอสเทอร์ เลเวนสัน, เป็สซีอา ซามีร์ (Pessia Tsamir) และดีนา ตีร็อช (Dina Tirosh) ซึ่งสัมภาษณ์นักเรียนเกรด 6 คู่หนึ่งที่เรียนดีในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของพวกเขา นักเรียนคนหนึ่งนิยมคำอธิบายนิรนัยของการอ้างทางคณิตศาสตร์ ขณะที่อีกคนนิยมตัวอย่างที่จับต้องได้ ทีแรกนักเรียนทั้งสองคิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่ด้วยเหตุผลต่างกัน เลเวนสันและคณะแสดงว่าเหตุใดการให้เหตุผลของนักเรียนจึงสะท้อนมโนทัศน์ของ 0 และการหาร[43]

เดโบราห์ โลเวนเบิร์ก บอลล์วิเคราะห์ความคิดของนักเรียนชั้นเกรด 3 เกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่และ 0 ซึ่งพวกเขาเพิ่งอภิปรายกับกลุ่มนักเรียนเกรด 4 นักเรียนอภิรายภาวะคู่หรือคี่ของ 0 กฎสำหรับจำนวนคู่และวิธีทำคณิตศาสตร์ การอ้างเกี่ยวกับ 0 มีหลายแบบ ดังที่ปรากฏในรายการขวามือ[44] บอลล์และผู้ประพันธ์ร่วมของเธอแย้งว่าตอนนี้แสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถ "ทำคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ได้ ตรงข้ามกับการลดทอนวิชาตามปกติเป็นการหาคำตอบของแบบฝึกหัดดุจเครื่องจักร[45]

แก่นหนึ่งในเอกสารข้อมูลวิจัยคือความตึงเครียดระหว่างภาพมโนทัศน์กับนิยามมโนทัศน์ของนักเรียน[46] นักเรียนเกรด 6 ในการศึกษาของเลเวนสันและคณะทั้งนิยามจำนวนคู่ว่าเป็นพหุคูณของ 2 หรือจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว แต่ทีแรกไม่สามารถใช้นิยามนี้กับ 0 ได้ เพราะพวกเขาไม่แน่ใจว่าการคูณหรือหาร 0 ด้วย 2 ทำอย่างไร สุดท้ายผู้สัมภาษณ์นำพวกเขาให้สรุปว่า 0 เป็นคู่ โดยนักเรียนใช้วิธีต่าง ๆ ในการมาสู่ข้อสรุปนี้ โดยการวาดบนภาพ นิยาม คำอธิบายจับต้องได้และคำอธิบายนามธรรมผสมกัน ในอีกการศึกษาหนึ่ง เดวิด ดิกเคอร์สัน และเดเมียน พิตแมนตรวจสอบการใช้นิยามของนักศึกษาปริญญาตรีเอกคณิตศาสตร์จำนวน 5 คน พวกเขาพบว่านักศึกษาเหล่านั้นส่วนใหญ่สามารถใช้นิยามของ "คู่" กับ 0 ได้ แต่พวกเขายังไม่ค่อยเชื่อตามการให้เหตุผลนี้ เนื่องจากขัดกับภาพมโนทัศน์ของพวกเขา[47]

ความรู้ของครู

คณะนักวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกนรวมโจทย์จริงหรือเท็จ "0 เป็นจำนวนคู่" ในฐานข้อมูลคำถามกว่า 250 คำถามซึ่งออกแบบมาเพื่อวัดความรู้เนื้อหาของครู สำหรับผู้วิจัย "ความรู้ทั่วไป ... ซึ่งผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาดีทุกคนพึงมี" และ "เป็นกลางทางอุดมการณ์" ตรงที่ว่าคำตอบไม่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ดั้งเดิมกับคณิตศาสตร์ปฏิรูป ในการวิจัยครูประถมศึกษาจำนวน 700 คนระหว่างปี 2543–2547 ในสหรัฐ สมรรถนะโดยรวมของคำถามเหล่านี้สามารถพยากรณ์พัฒนาการผลทดสอบมาตรฐานของนักเรียนได้อย่างมีนัยสำคัญหลังเข้าเรียนในชั้นเรียนของครูคนนั้น ๆ[48] ในการวิจัยเชิงลึกขึ้นในปี 2551 ผู้วิจัยพบโรงเรียนแห่งหนึ่งท่ครูทุกคนคิดว่า 0 ไม่เป็นคี่และคู่ ซึ่งรวมถึงครูผู้หนึ่งที่เป็นแบบอย่างในทุกกรณี ศึกษานิเทศก์คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในโรงเรียนนั้นเป็นผู้เผยแพร่ความเข้าใจผิดดังกล่าว[49]

ไม่แน่ชัดว่าครูมากน้อยเพียงใดมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับ 0 คณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ข้อมูลสำหรับคำถามแต่ละคำถาม เบตตี ลิชเทนเบิร์ก (Betty Lichtenberg) ผู้ช่วยศาสตราจารย์การศึกษาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาท์ฟลอริดา ในการศึกษาปี 2515 รายงานว่าเมื่อกลุ่มครูโรงเรียนประถมตามแผนได้รับการทดสอบจริงหรือเท็จซึ่งมีคำถามหนึ่งว่า "0 เป็นจำนวนคู่" ครูเหล่านั้นคิดว่าเป็น "คำถามลวง" โดยสองในสามตอบ "เท็จ"[50]

การส่อความสำหรับการสอน

ในทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่นั้นเป็นปัญหาการใช้บทนิยามที่เรียบง่าย แต่จำเป็นต้องมีคำอธิบายเพิ่มในบริบทของการศึกษา ประเด็นหนึ่งว่าด้วยรากฐานของการพิสูจน์ คือ นิยามของ "คู่" ว่าเป็น "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป นักเรียนประถมศึกษาปีที่ 1 อาจยังมิได้เรียนความหมายของคำว่า "จำนวนเต็ม" หรือ "พหุคูณ" ซึ่งไม่ต้องกล่าวถึงการคูณด้วย 0[51] นอกจากนี้ การระบุนิยามของภาวะคู่หรือคี่สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถดูเหมือนเป็นทางลัดมโนทัศน์ตามอำเภอใจหากจำนวนคู่ที่สืบสวนจนถึงขณะนั้นมีเฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น ประเด็นนี้สามารถช่วยให้ตระหนักว่ามโนทัศน์จำนวนขยายจากจำนวนเต็มบวกให้รวมศูนย์และจำนวนเต็มลบฉันใด คุณสมบัติของจำนวนอย่างภาวะคู่หรือคี่ก็ขยายในทางที่ไม่เล็กน้อยฉันนั้น[52]