จำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนจริง y เพียงหนึ่งจำนวนเสมอ ที่ y3 = x เนื่องจากฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่ให้ค่าซ้ำจากจำนวนที่ต่างกัน และยังเป็นฟังก์ชันที่เรนจ์ครอบคลุมเซตของจำนวนจริง นั่นคือฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และมีฟังก์ชันผกผันที่หนึ่งต่อหนึ่งเช่นเดียวกัน จากนิยาม จำนวนจริงบวกจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงบวก และจำนวนจริงลบจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงลบ

หากอนุญาตให้ y เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ จะพบว่าสมการ y3 = x มี 3 คำตอบที่ต่างกันเสมอ (เว้นแต่กรณี x = 0 ซึ่งให้ y = 0 ค่าเดียว) โดยค่าหนึ่งเป็นจำนวนจริงดังกล่าวมาแล้ว อีกสองค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นสังยุคกันเสมอ เช่น รากที่สามของ 1 ได้แก่:

1 , − 1 2 + 3 2 i , − 1 2 − 3 2 i {\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}

รากที่สามของ 1 เหล่านี้แสดงความสัมพันธ์ของรากที่สามทั้งสามตัวของจำนวนจริงใด ๆ โดยหากมีจำนวนหนึ่งเป็นรากที่สามของอีกจำนวนหนึ่งแล้ว รากที่สามที่เหลือทั้งสองตัวสามารถหาได้จากการนำรากตัวแรกไปคูณกับรากที่สามของ 1 ที่เป็นเชิงซ้อนแต่ละตัว

จำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน x ใด ๆ เราสามารถเขียน

x = r exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle x=r\exp(i\theta )}

โดยที่ r เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบและ

− π < θ ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }

ซึ่งจะได้ว่า

x 3 = { r 3 exp ⁡ ( i θ 3 ) , r 3 exp ⁡ ( i θ 3 + 2 i π 3 ) , r 3 exp ⁡ ( i θ 3 − 2 i π 3 ) . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}

โดยปกติแล้วปกติจะนิยามรากที่สามมุขสำคัญ เป็นรากตัวที่มีส่วนจริงมากที่สุด หรือทียบเท่ากับการมีค่าสัมบูรณ์ของอาร์กิวเมนต์ต่ำสุด ซึ่งตามด้านบนจะเป็นรากที่สามตัวบนสุด

ค่านี้สัมพันธ์กับค่ามุขสำคัญของลอการิทึมตามสมการ

x 1 3 = exp ⁡ ( 1 3 ln ⁡ x ) {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=\exp {\left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right)}}

ควรสังเกตว่า โดยนิยามนี้ รากที่สามของจำนวนจริงลบ จะมีค่ามุขสำคัญเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่น ค่ามุขสำคัญของ 3√−8 เป็น 1 + i√3 ไม่ใช่ - 2