หลักการของการพิสูจน์ข้างต้นได้ถูกอธิบายไว้อย่างเด่นชัดด้วยทฤษฎีกาลัว (Galois theory) ซึ่งแสดงไว้อย่างตรงไปตรงมาในเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า ความยาวที่สามารถสร้างได้ จะต้องมาจากความยาวพื้นฐานที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองบางลำดับ ในพจน์ของทฤษฎีฟีลด์ ความยาวเช่นนั้นจะต้องถูกบรรจุอยู่ในภาคขยายฟีลด์ (field extension) ที่สร้างขึ้นจากการซ้อนทับกันของภาคขยายกำลังสอง (quadratic extension) ดังนั้นฟีลด์ที่ถูกสร้างขึ้นจะมีดีกรีเหนือฟีลด์ฐานเท่ากับกำลังของ 2 จำนวนหนึ่ง

ในกรณีเฉพาะสำหรับรูป n เหลี่ยมปรกติ คำถามในตอนแรกจึงลดทอนลง กลายเป็นว่าการสร้างเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับ cos(2π/n) จะสามารถทำได้อย่างไร

จำนวนนี้ cos(2π/n) วางตัวอยู่ในฟีลด์ไซโคลโทมิก (cyclotomic field) ที่ n และด้วยข้อเท็จจริงก็อยู่ในฟีลด์ย่อยของจำนวนจริงด้วย ซึ่งเป็นฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม (totally real field) และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตรรกยะของมิติ ½φ(n) เมื่อ φ(n) คือฟังก์ชันทอเทียนต์ของออยเลอร์ (Euler's totient function) ผลลัพธ์ของ Wantzel ก็มาจากการคำนวณที่แสดงว่า φ(n) คือกำลังของ 2 ในกรณีดังกล่าว

จากการสร้างรูปแบบเกาส์ เมื่อกรุปของกาลัวเป็น 2-กรุป จะบอกได้ว่ามีลำดับของกรุปย่อยของจำนวน 1, 2, 4, 8, ... ที่ซ้อนในกันอยู่โดยสมาชิกแต่ละตัวกับตัวถัดไป (ในเรื่องทฤษฎีกรุปคืออนุกรมประกอบ) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการอุปนัยว่ากรณีเช่นนี้เป็นกรุปอาบีเลียน เพราะฉะนั้นจึงมีฟีลด์ย่อยหลายฟีลด์ที่ซ้อนอยู่ภายในฟีลด์ไซโคลโทมิก โดยแต่ละตัวนั้นยกกำลัง 2 ของตัวก่อนหน้า การสร้างจำนวนขึ้นในฟีลด์จึงสามารถเขียนขึ้นด้วยทฤษฎี Gaussian period ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ n = 17 จะมีช่วงคาบหนึ่งที่เป็นผลบวกของ 8 รากของ 1, คาบหนึ่งที่เป็น 4 รากของ 1, และอีกคาบหนึ่งเป็นผลบวกของ 2 รากของ 1 ซึ่งนั่นก็คือ cos(2π/17)

รากปฐมฐานแต่ละตัวเป็นรากของสมการกำลังสองดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ นอกจากนั้นสมการเหล่านี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นหลักการเช่นนี้จึงสามารถนำไปใช้ในการสร้างรูปทางเรขาคณิตได้ เพราะว่าทุกอย่างที่ทำมาตั้งแต่ต้นอยู่ในฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม