เมนูนำทาง
ลิมิตของฟังก์ชัน นิยามเป็นทางการกำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า: lim x → p f ( x ) = L {\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=L} ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุกๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε
เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d ( x , y ) := | x − y | {\displaystyle d(x,y):=|x-y|} . เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d ( x , y ) := | a r c t a n ( x ) − a r c t a n ( y ) | {\displaystyle d(x,y):=|arctan(x)-arctan(y)|}
ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน lim x → p f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L} ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, |f(x)-L| < ε
ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.
หรือเราจะเขียน lim x → p f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty } ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;
หรือจะเขียนว่า lim x → p f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty } ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.
ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : lim x → p + {\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}} และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย : lim x → p − {\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}}
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน
lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น d ( x , y ) := | x − y | {\displaystyle d(x,y):=|x-y|} จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกันจะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
lim x → p f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<εนี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน
เราจะเขียน
lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใดๆ เราจะได้ |f(x)-L|<εเมนูนำทาง
ลิมิตของฟังก์ชัน นิยามเป็นทางการใกล้เคียง
ลิมิตของฟังก์ชัน ลิมิตของลำดับ ลิขิตฝันฉันและเธอ ลิขิตรัก ลิลิตพระลอ ลิขิต เอกมงคล ลิขิตรักข้ามดวงดาว ลิขิต ธีรเวคิน ลิขิตกามเทพ ลิลิตตะเลงพ่ายแหล่งที่มา
WikiPedia: ลิมิตของฟังก์ชัน