ในทางทฤษฎีเกม การนิยามเกมแบบพื้นฐานประกอบไปด้วยองค์ประกอบสามอย่าง ได้แก่ ผู้เล่น ทางเลือกของผู้เล่นแต่ะละคนในเกม (เรียกในทฤษฎีเกมว่า "กลยุทธ์") และความพึงพอใจของผู้เล่นแต่ละคนที่มีต่อผลลัพธ์แต่ละแบบของเกม ซึ่งมักเขียนในรูปแบบที่เรียกว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ค่าของอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคน ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนในเกม หากเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ นิยามพื้นฐานของเกมสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้

• เซตของผู้เล่น N = { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle N=\{1,2,\dots ,n\}}
• เซตของกลยุทธ์ S i {\displaystyle S_{i}} สำหรับผู้เล่น i {\displaystyle i} แต่ละคนในเซตผู้เล่น
• ค่าอรรถประโยชน์ u i ( s 1 , s 2 , … , s n ) {\displaystyle u_{i}(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} สำหรับผู้เล่น i {\displaystyle i} แต่ละคนในเซตผู้เล่น ที่อิงจากกลยุทธ์ s 1 , s 2 , … , s n {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}} ที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือก

โพรไฟล์กลยุทธ์ (อังกฤษ: strategy profile) หมายถึงเวกเตอร์ที่ระบุกลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคน นั่นคือ s = ( s 1 , s 2 , … , s n ) {\displaystyle s=(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} และใช้สัญลักษณ์ s − i {\displaystyle s_{-i}} หมายถึงโพรไฟล์กลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนยกเว้น i {\displaystyle i} ค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น i {\displaystyle i} จึงสามารถเขียนได้เป็น u i ( s ) {\displaystyle u_{i}(s)} และ u i ( s i , s − i ) {\displaystyle u_{i}(s_{i},s_{-i})} ด้วย

จากนิยามเกมข้างต้น โพร์ไฟล์กลยุทธ์ s ∗ = ( s 1 ∗ , s 2 ∗ , … , s n ∗ ) {\displaystyle s^{*}=(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{n}^{*})} ถือว่าเป็นจุดสมดุลแบบแนช ถ้ากลยุทธ์ s i ∗ {\displaystyle s_{i}^{*}} ที่ผู้เล่น i {\displaystyle i} เลือก เป็นกลยุทธ์ที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุดแก่ผู้เล่น i {\displaystyle i} เมื่อผู้เล่นคนอื่นๆ เลือกเล่นกลยุทธ์ที่ระบุใน s ∗ {\displaystyle s^{*}} กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผู้เล่นแต่ละคนในเกมไม่สามารถทำให้อรรถประโยชน์ของตัวเองสูงขึ้นด้วยการเลือกกลยุทธ์อื่นที่ไม่ใช่ s i ∗ {\displaystyle s_{i}^{*}} ตราบใดที่ผู้เล่นคนอื่นทุกคนเลือกกลยุทธ์ของตัวเองตามที่กำหนดในโพรไฟล์กลยุทธ์ s ∗ {\displaystyle s^{*}} เงื่อนไขนี้เขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า ∀ i ∈ N , ∀ s i ′ ∈ S i : u i ( s ∗ ) ≥ u i ( s i ′ , s − i ∗ ) {\displaystyle \forall i\in N,\forall s_{i}'\in S_{i}:u_{i}(s^{*})\geq u_{i}(s_{i}',s_{-i}^{*})} [6]

ทฤษฎีบทของแนชพิจารณาเกมที่สามารถมีกลยุทธ์แบบผสมได้ กลยุทธ์แบบผสม หมายถึงการที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือกความน่าจะเป็นที่จะเลือกทางเลือกแต่ละทางให้แก่ทุกสมาชิกในเซตกลยุทธ์ (ความน่าจะเป็นของสมาชิกแต่ละอันอาจจะเป็น 0 หรือ 1 ได้) โดยผลรวมของความน่าจะเป็นของทุกตัวเลือกเท่ากับ 1 ตามนิยามของการแจกแจงความน่าจะเป็น ในกรณีนี้ เซตกลยุทธ์ที่เป็นกลยุทธ์แบบผสม จะกลายเป็นมีลักษณะเป็นซิมเพล็กซ์แทน[6]