สมเด็จพระราชินีอันเนอ-มารีแห่งกรีซ มีพระนามเดิมว่า เจ้าหญิงอันเนอ-มารี ดักมาร์ อิงกริดแห่งเดนมาร์ก พระราชสมภพเมื่อวันที่ 30 สิงหาคม ค.ศ. 1946 ณ พระราชวังอมาเลียนเบิร์ก กรุงโคเปนเฮเกน ประเทศเดนมาร์ก พระองค์เป็นพระราชธิดาพระองค์เล็กในสมเด็จพระเจ้าเฟรเดอริกที่ 9 แห่งเดนมาร์ก และสมเด็จพระราชินีอิงกริดแห่งเดนมาร์ก พระองค์มีพ่อและแม่ทูนหัว คือ พระเจ้าคริสเตียนที่ 10 แห่งเดนมาร์ก, สมเด็จพระเจ้ากุสตาฟที่ 6 อดอล์ฟแห่งสวีเดน, เจ้าชายเบร์ติล ดยุกแห่งฮัลลันด์, สมเด็จพระราชาธิบดีโฮกุนที่ 7 แห่งนอร์เวย์ และฝ่ายพระอัยยิกาได้แก่ อะเล็กซานดรินแห่งเมคเลินบวร์ค-เชควริน สมเด็จพระราชินีแห่งเดนมาร์ก เจ้าหญิงมาร์ธา มกุฎราชกุมารีแห่งนอร์เวย์, มาเรียแห่งเท็ค, สมเด็จพระราชินีนาถจูเลียนาแห่งเนเธอร์แลนด์ และเจ้าหญิงดักมาร์แห่งเดนมาร์ก

พระองค์เป็นพระราชขนิษฐาในสมเด็จพระราชินีนาถมาร์เกรเธอที่ 2 แห่งเดนมาร์ก พระกษัตรีย์องค์ปัจจุบันแห่งเดนมาร์ก[2] และพระองค์ยังเป็นพระญาติวงศ์ในสมเด็จพระราชาธิบดีคาร์ลที่ 16 กุสตาฟแห่งสวีเดน ซึ่งเป็นพระมหากษัตริย์แห่งสวีเดนองค์ปัจจุบัน

พระองค์ทรงเข้ารับการศึกษาจากโรงเรียนซาห์เลส์ (Zahle's School) ประเทศเดนมาร์ก ช่วงปี ค.ศ. 1952 ถึง ค.ศ. 1963 และทรงเข้าศึกษาต่อในโรงเรียนสตรีชาร์เตอราร์ด (Chatelard School for Girls) ซึ่งเป็นโรงเรียนภาษาอังกฤษในประเทศสวิตเซอร์แลนด์ ในปี ค.ศ. 1962 และต่อมาในปี ค.ศ. 1963-1964 พระองค์ได้ทรงเข้าศึกษาต่อในเลอเมส์นิล โรงเรียนฟินิชชิง (Finishing school) ประเทศสวิตเซอร์แลนด์