เพนดูลัมอย่างง่าย

โมเมนต์ความเฉื่อยสามารถหาได้จากเพนดูลัมอย่างง่าย เพราะมันมีความต้านทานการหมุนเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกอยู่ ในทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของเพนดูลัมเป็นอัตราส่วนระหว่างทอร์กเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำรอบจุดหมุนกับความเร่งเชิงมุม สำหรับเพนดูลัมอย่างง่ายสามารถเขียนโมเมนต์ความเฉื่อย I {\displaystyle I} ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ m {\displaystyle m} ต่อกำลังสองของระยะห่าง r {\displaystyle r} จากจุดหมุนถึงวัตถุนั้น

I = m r 2 . {\displaystyle I=mr^{2}.}

โดยที่แรงโน้มถ่วงของโลกมากระทำต่อวัตถุของระบบเพนดูลัมอย่างง่าย แล้วทำให้เกิดทอร์ก τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} } รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับระนาบการหมุนของเพนดูลัม r {\displaystyle \mathbf {r} } เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือระยะห่างจากวัตถุถึงแรงที่มากระทำ มีทิศตั้งฉากกับแรงนั้น และ F {\displaystyle \mathbf {F} } คือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้น สำหรับ τ {\displaystyle \tau } จะเกี่ยวข้องกับความเร่งเชิงมุม α {\displaystyle \mathbf {\alpha } } และวัตถุจะถูกจำกัดการเคลื่อนที่ให้มีลักษณะเป็นวงกลมเท่านั้น โดยที่ความเร่งในแนวการเคลื่อนที่ คือ a = α × r {\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }

τ = r × F = r × ( m α × r ) = m ( ( r ⋅ r ) α − ( r ⋅ α ) r ) = m r 2 α = I α k ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\alpha }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} \end{aligned}}}

เมื่อ k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีทิศตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของเพนดูลัม สำหรับ I = m r 2 {\displaystyle I=mr^{2}} จะปรากฏในโมเมนตัมเชิงมุมของเพนดูลัมอย่างง่าย ซึ่งคำนวณมาจากความเร็ว v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } ของเพนดูลัมรอบแกนหมุน โดยที่ ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} เป็นความเร็วเชิงมุมของวัตถุรอบจุดหมุน สามารถเขียนโมเมนตัมเชิงมุมได้เป็น

L = r × p = r × ( m ω × r ) = m ( ( r ⋅ r ) ω − ( r ⋅ ω ) r ) = m r 2 ω = I ω k ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} \end{aligned}}}

นอกจากนี้ยังสามารถหาพลังงานจลน์ของเพนดูลัมได้ ซึ่งขึ้นกับมวลและความเร็วของวัตถุ คือ

E K = 1 2 m v ⋅ v = 1 2 ( m r 2 ) ω 2 = 1 2 I ω 2 . {\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}

ตามปกติแล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบคือผลรวมค่า m r 2 {\displaystyle mr^{2}} ของทุก ๆ วัตถุในระบบนั้น คือ

I = ∑ i = 1 m i r i 2 . {\displaystyle I=\sum _{i=1}m_{i}r_{i}^{2}.}