เมนูนำทาง
กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน
ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ T 4 {\displaystyle T^{4}} นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์[17][18] การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี p กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) u {\displaystyle u} ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:
p = u 3 . {\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)
d U = T d S − p d V , {\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}หลังจากหารด้วย d V {\displaystyle dV} และตรึงค่า T {\displaystyle T} ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ S ∂ V ) T − p = T ( ∂ p ∂ T ) V − p . {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:
( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ p ∂ T ) V . {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้
U = u V {\displaystyle U=uV}โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น
( ∂ U ∂ V ) T = u ( ∂ V ∂ V ) T = u . {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}แล้วสมการนี้
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ p ∂ T ) V − p , {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}เมื่อแทน ( ∂ U ∂ V ) T {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}} และ p {\displaystyle p} ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น
u = T 3 ( ∂ u ∂ T ) V − u 3 . {\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}}.}ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย ( ∂ u ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}} สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง u {\displaystyle u} และ T {\displaystyle T} เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น
d u 4 u = d T T , {\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}ซึ่งนำไปสู่ u = A T 4 {\displaystyle u=AT^{4}} โดย A {\displaystyle A} เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง
เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย θ เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ φ เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ θ = π/2.
ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:
I ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / ( k T ) − 1 . {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.} โดยI ( ν , T ) A d ν d Ω {\displaystyle I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega } คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน dΩ ในช่วงความถี่ระหว่าง ν และ ν + dν.
กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น
P A = ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν ∫ cos θ d Ω {\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \,}โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ท) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ d Ω = sin θ d θ d φ {\textstyle d\Omega =\sin \theta \ d\theta d\varphi } ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ ν {\displaystyle \nu } จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน
P A = ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π / 2 cos θ sin θ d θ = π ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}แล้วใส่ค่า I ลงไป:
P A = 2 π h c 2 ∫ 0 ∞ ν 3 e h ν k T − 1 d ν {\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้
u = h ν k T d u = h k T d ν {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}และได้:
P A = 2 π h c 2 ( k T h ) 4 ∫ 0 ∞ u 3 e u − 1 d u . {\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} ค่าของปริพันธ์เท่ากับ 6 ζ ( 4 ) = π 4 15 {\displaystyle 6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}} ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:
j ⋆ = σ T 4 , σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 = π 2 k 4 60 ℏ 3 c 2 . {\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ
เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม U ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว c เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน U:
U = 1 c ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν ∫ d Ω {\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,}ดังนั้น ∫ 0 π / 2 cos θ sin θ d θ {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta } ถูกแทนที่ด้วย ∫ 0 π sin θ d θ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta } , ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4.
ดังนั้น จากทั้งหมดได้:
U = 4 c σ T 4 {\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}เมนูนำทาง
กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน