ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น x − a {\displaystyle x-a}

x 3 − 12 x 2 − 42 x − 3 {\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}

ตัวเศษเชียนใหม่ได้เป็น P ( x ) = x 3 − 12 x 2 + 0 x − 42 {\displaystyle P(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42}

รากของตัวส่วน g ( x ) {\displaystyle g(x)} คือ 3 {\displaystyle 3}

สัมประสิทธิ์ของ P ( x ) {\displaystyle P(x)} เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ g ( x ) {\displaystyle g(x)} ไว้ทางซ้าย

3   1 − 12 0 − 42 {\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}

สัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

3 1 − 12 0 − 42 1 {\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

เลขที่ถูกดึงคูณกับเลขหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

3 1 − 12 0 − 42 3 1 {\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {grey}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {brown}3&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

บวกกันภายในหลักถัดไป

3 1 − 12 0 − 42 3 1 − 9 {\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&\color {green}3&&\\\hline 1&\color {green}-9&&\\\end{array}}\end{array}}}

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

3 1 − 12 0 − 42 3 − 27 − 81 1 − 9 − 27 − 123 {\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

1 x 2 − 9 x − 27 − 123 {\displaystyle {\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}}

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

q ( x ) = x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}

r ( x ) = − 123 {\displaystyle r(x)=-123}

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ P ( x ) {\displaystyle P(x)} ณ a {\displaystyle a} จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร P ( x ) {\displaystyle P(x)} ด้วย x − a {\displaystyle x-a}

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์