การเปลี่ยนความถี่ยีนอย่างไม่เจาะจงสามารถจำลองทางคณิตศาสตร์เป็น กระบวนการแตกกิ่ง (branching process)[upper-alpha 1]หรือ สมการการแพร่ (diffusion equation)[upper-alpha 2]ซึ่งอธิบายความเปลี่ยนแปลงความถี่อัลลีลใน กลุ่มประชากรอุดมคติ (idealised population)[9]ที่เป็นกลุ่มประชากรอันจำกัดโดยข้อสมมุติดังที่จะกล่าวในแบบจำลองต่าง ๆ

ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความถี่อัลลีลโดยสุ่มจะเป็นแบบ สหสัมพันธ์กับตัวเอง (autocorrelation)[upper-alpha 3]ตามรุ่นต่าง ๆ[2]

แบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์ (Wright-Fisher model)

ลองพิจารณาถึงยีนที่มีอัลลีลสองแบบ คือ ก และ ขในกลุ่มประชากรสิ่งมีชีวิตแบบโครโมโซมคู่ (diploid) ที่มีจำนวน N หน่วย ดังนั้น ยีนแต่ละยีนก็จะมี 2N ก๊อปปี้สิ่งมีชีวิตแต่ละหน่วยอาจมีอัลลีลแบบเดียวกันคู่หนึ่ง หรือมีอัลลีลต่างกันสองอัลลีลเราจะกำหนดความถี่อัลลีลหนึ่งว่า p และของอีกอัลลีลหนึ่งว่า qแบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์สมมุติว่ารุ่นแต่ละรุ่นจะไม่คาบเกี่ยวกัน (เช่น พืชรายปีแต่ละปีจะมีพืชจากรุ่นเดียว)และยีนแต่ละก๊อปปี้ที่พบในรุ่นใหม่จะชักตัวอย่างอย่างเป็นอิสระและโดยสุ่ม จากยีนทั้งหมดที่มีในรุ่นก่อนสูตรที่ใช้คำนวณความน่าจะเป็นของการได้อัลลีลหนึ่งเป็นจำนวน k ก๊อปปี้โดยมีความถี่ p ในประชากรรุ่นสุดท้ายก็จะเป็น[10][11]

( 2 N ) ! k ! ( 2 N − k ) ! p k q 2 N − k {\displaystyle {\frac {(2N)!}{k!(2N-k)!}}p^{k}q^{2N-k}}

โดยสัญลักษณ์ "!" หมายถึงฟังก์ชันแฟกทอเรียลสูตรนี้สามารถเขียนโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินามเป็น

( 2 N k ) p k q 2 N − k {\displaystyle {2N \choose k}p^{k}q^{2N-k}}

แบบจำลองมอแรน (Moran model)

แบบจำลองมอแรน (Moran model) สมมุติว่าสิ่งมีชีวิตหลายรุ่นจะมีชีวิตคาบเกี่ยวกันและจะเลือกสิ่งมีชีวิตหนึ่งให้สืบพันธุ์ กับอีกหน่วยหนึ่งให้ตาย ตามลำดับขั้นเวลาดังนั้นในแต่ละขั้น จำนวนก๊อปปี้ของอัลลีลหนึ่ง ๆ สามารถเพิ่มขึ้นหนึ่ง ลดหนึ่ง หรืออยู่เท่ากันซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์เปลี่ยนสถานะ (transition matrix) จะเป็นแบบสามแนวเฉียง (tridiagonal) ซึ่งก็หมายความว่า ผลเฉลยของแบบจำลองมอแรนจะคำนวณได้ง่ายกว่าของแบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์

โดยนัยตรงกันข้าม แบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์จะจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ได้ง่ายกว่า เพราะว่า ต้องคำนวณลำดับขั้นตามเวลาน้อยกว่าในแบบจำลองมอแรน จะต้องคำนวณ Ne ครั้งต่อรุ่น ถ้า Ne คือ ขนาดกลุ่มประชากรประสิทธิผล (effective population size)[upper-alpha 4] แต่ในแบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์ จะต้องคำนวณเพียงแค่ครั้งเดียว

ในทางปฏิบัติ แบบจำลองทั้งสองให้ผลคล้ายกันเชิงคุณภาพ แต่การเปลี่ยนความถี่ยีนจะเร็วเป็นสองเท่าในแบบจำลองมอแรน

แบบจำลองอื่น ๆ

ถ้าความแปรปรวน (variance) ของจำนวนสิ่งมีชีวิตรุ่นลูก มากกว่าที่กำหนดในการแจกแจงทวินามที่สมมุติโดยแบบจำลองไรท์-ฟิชเช่อร์และถ้าการเปลี่ยนความถี่ยีนเร็วเท่ากันโดยทั่ว ๆ ไป การเปลี่ยนความถี่ยีนอย่างไม่เจาะจงก็จะไม่มีอิทธิพลเท่ากับการคัดเลือก[12]แม้ถ้าความแปรปรวนเท่ากัน แต่การแจกแจงจำนวนสิ่งมีชีวิตรุ่นลูกมีโมเมนต์ระดับสูงที่เกินการแจกแจงทวินาม กำลังของการเปลี่ยนความถี่ยีนก็จะน้อยลงมากเช่นกัน[13]

ผลบังเอิญที่ไม่ใช่ความเคลื่อนคลาดจากการชักตัวอย่าง

การเปลี่ยนความถี่อัลลีลโดยสุ่มอาจมีเหตุอื่น ๆ นอกเหนือไปจากความเคลื่อนคลาดจากการชักตัวอย่าง เช่น ความเปลี่ยนแปลงโดยสุ่มของความกดดันคัดเลือก[14]แหล่งความสุ่มที่อาจสำคัญกว่าการเปลี่ยนความถี่ยีนอย่างไม่เจาะจงก็คือ การอาศัยไปด้วยทางพันธุกรรม (genetic hitchhiking, genetic draft)[15]ซึ่งเป็นผลที่เกิดต่อโลคัสหนึ่งของยีน จากการคัดเลือกโลคัสที่ต่างกันแต่เชื่อมโยงกัน (genetically linked)และคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการนี้ก็ต่างจากการเปลี่ยนความถี่ยีนอย่างไม่เจาะจง[16]