นายสงคราม กิจเลิศไพโรจน์ เป็นชาวไทยเชื้อสายจีน เกิดเมื่อวันที่ 15 มีนาคม พ.ศ. 2487 ที่จังหวัดสมุทรปราการ เป็นบุตรคนที่ 4 ในบรรดาบุตร 5 คนของนายเล่งอี่ แซ่กิม กับ นางเซ้งฮวย แซ่ฉั่ว สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีศิลปศาสตรบัณฑิต จากสถาบันราชภัฏธนบุรี และนิติศาสตรบัณฑิต จากมหาวิทยาลัยรามคำแหง ส่วนในระดับปริญญาโทอีก 2 ปริญญา ด้านบริหารธุรกิจ สาขาการจัดการทั่วไป จากมหาวิทยาลัยอีสเทิร์นเอเชีย และรัฐประศาสนศาสตร์ จากสถาบันบัณฑิตพัฒนบริหารศาสตร์ (นิด้า)