สมการลักษณะเฉพาะ ของ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

เมื่อการแปลงแทนโดยเมทริกซ์จัตุรัส A, สมการค่าลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้ดังนี้

A x − λ I x = 0 {\displaystyle A\mathbf {x} -\lambda I\mathbf {x} =\mathbf {0} }

สามารถจัดใหม่ได้ดังนี้

( A − λ I ) x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =\mathbf {0} }

( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A\ -\lambda I)^{-1}}

นำเมทริกซ์ผกผันมาคูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้: x = 0 ดังนั้นเราต้องการให้มันที่ไม่อยู่ในรูปเมทริกซ์ผกผันโดยสมมุติจากพีชคณิตเชิงเส้นว่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์:

det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det(A\ -\lambda I)=0}

ดีเทอร์มิแนนต์ที่ต้องการเรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะ (secular equation) ของ A, และด้านซ้ายมือเรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะ(characteristic polynomial) ซึ่งจะให้สมการพหุนามสำหรับหาค่า λ {\displaystyle \lambda } ส่วนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x หรือส่วนประกอบของมันไม่แสดงในสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง

คลิก [แสดง] เพื่อดูตัวอย่างเพิ่มเติม

x = [ 1 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} และ λ = 3 {\displaystyle \lambda =3} เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ A = [ 6 − 3 2 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}} เพราะว่า A x = [ 6 − 3 2 1 ] ⋅ [ 1 1 ] = [ 3 3 ] = 3 ⋅ [ 1 1 ] = λ x {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\lambda \mathbf {x} }

x = [ 2 ; 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} =[2;2]} และ λ = 6 {\displaystyle \lambda =6} , x = [ 3 ; 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} =[3;3]} และ λ = 9 {\displaystyle \lambda =9} , ..., x = a ⋅ [ 1 ; 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot [1;1]} และ λ = 3 ⋅ a {\displaystyle \lambda =3\cdot a} (เมื่อ a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) ต่างก็เป็นคู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ A = [ 6 − 3 2 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}

x = [ 1 2 / 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}} และ λ = 4 {\displaystyle \lambda =4} (รวมถึง x = a ⋅ [ 1 2 / 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot {\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}} และ λ = 4 ⋅ a {\displaystyle \lambda =4\cdot a} เมื่อ a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) ก็เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ A = [ 6 − 3 2 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}} เช่นกัน

เมทริกซ์

[ 2 1 1 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}

นิยามการแปลงเชิงเส้นของระนาบจำนวนจริง ค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงนี้ได้มาโดยสมการลักษณะเฉพาะ

det [ 2 − λ 1 1 2 − λ ] = ( 2 − λ ) 2 − 1 = 0 {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{bmatrix}}=(2-\lambda )^{2}-1=0}

รากของสมการนี้คือ λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} และ λ = 3 {\displaystyle \lambda =3} เมื่อได้ค่าลักษณะเฉพาะ เราจะสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ พิจารณาค่าลักษณะเฉพาะ λ = 3 {\displaystyle \lambda =3} จะได้

[ 2 1 1 2 ] [ x y ] = 3 [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

แถวทั้งคู่ของสมการเมทริกซ์นี้จะลดรูปเหลือสมการเชิงเส้นเดี่ยว x = y {\displaystyle x=y} ในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราสามารถเลือกค่าอะไรก็ได้มาแทนค่า x, ดังนั้นเลือก x=1 จาก y=x, เราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็น

[ 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}

เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหรือไม่โดย : [ 2 1 1 2 ] [ 1 1 ] = [ 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}}

เมื่อค่าลักษณะเฉพาะ: λ = 1 , {\displaystyle \lambda =1,} ทำแบบเดิมจะได้สมการ x = − y {\displaystyle x=-y} , ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะได้

[ 1 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}

ปัญหาจุกจิกในการหาราก/ค่าลักษณะเฉพาะของพหุนามลักษณะเฉพาะ(characteristic polynomial)ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในส่วนองศาของพหุนาม(มิติของปริภูมิเวกเตอร์)ที่เพิ่มขึ้น มีวิธีที่เที่ยงตรงสำหรับมิตที่ต่ำกว่า 5 แต่สำหรับมิติที่สูงขึ้นยังไม่มีวิธีที่แน่นอนและมีการอาศัยวิธีทางจำนวนเพื่อหาค่าประมาณ สำหรับเมทริกซ์มากเลขศูนย์(sparse matrix)สมมาตรขนาดใหญ่ได้ใช้ขั้นตอนวิธี Lanczos คำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ