เมนูนำทาง
เศษส่วนต่อเนื่อง
สำหรับจำนวนจริงบวก x {\displaystyle x} ใดๆ
[ a 0 , a 1 , … , a n − 1 , x ] = x h n − 1 + h n − 2 x k n − 1 + k n − 2 . {\displaystyle \left[a_{0},a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}คอนเวอร์เจนท์ของ [a0, a1, a2, ...] อยู่ในรูป
[ a 0 , a 1 , … , a n ] = h n k n . {\displaystyle \left[a_{0},a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.}ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ n {\displaystyle n} ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ h n / k n {\displaystyle h_{n}/k_{n}} แล้ว
k n h n − 1 − k n − 1 h n = ( − 1 ) n . {\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.}บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ h n {\displaystyle h_{n}} และ k n {\displaystyle k_{n}} จะต้องหาร k n h n − 1 − k n − 1 h n {\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}} ลงตัว)
บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1
| h n k n − h n − 1 k n − 1 | = | h n k n − 1 − k n h n − 1 k n k n − 1 | = 1 k n k n − 1 . {\displaystyle \left|{\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}\right|=\left|{\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}\right|={\frac {1}{k_{n}k_{n-1}}}.}บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้
a 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n k n + 1 k n . {\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}}.}บทเสริม 4: แมทริกซ์
[ h n h n − 1 k n k n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}}มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ S ∗ L ( 2 , Z ) {\displaystyle S^{*}L(2,\mathbb {Z} )}
คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ x {\displaystyle x} เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]} และให้ r {\displaystyle r} และ s {\displaystyle s} เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ r > s {\displaystyle r>s}
| [ a 0 ; a 1 , a 2 , … a r ] − x | > | [ a 0 ; a 1 , a 2 , … a s ] − x | {\displaystyle \left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{r}]-x\right|>\left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{s}]-x\right|}บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน x {\displaystyle x}
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า x {\displaystyle x}
บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน
เมนูนำทาง
เศษส่วนต่อเนื่องใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: เศษส่วนต่อเนื่อง