เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]} (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

a 0 1 , a 0 a 1 + 1 a 1 , a 2 ( a 0 a 1 + 1 ) + a 0 a 2 a 1 + 1 , a 3 ( a 2 ( a 0 a 1 + 1 ) + a 0 ) + ( a 0 a 1 + 1 ) a 3 ( a 2 a 1 + 1 ) + a 1 . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0})+(a_{0}a_{1}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ a 3 {\displaystyle a_{3}} ) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ h 0 , h 1 , h 2 , … {\displaystyle h_{0},h_{1},h2,\ldots } และส่วนคือ k 0 , k 1 , k 2 , … {\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\ldots } เราจะได้ว่า h 0 = a 0 {\displaystyle h_{0}=a_{0}} , k 0 = 1 {\displaystyle k_{0}=1} , h 1 = a 0 a 1 + 1 {\displaystyle h_{1}=a_{0}a_{1}+1} , และ k 1 = a 1 {\displaystyle k_{1}=a_{1}} เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

h n = a n h n − 1 + h n − 2 , k n = a n k n − 1 + k n − 2 . {\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.}

ดังนั้น

h n k n = a n h n − 1 + h n − 2 a n k n − 1 + k n − 2 . {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}