มัลติแฟกทอเรียล

มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

n!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ n ซึ่งนิยามโดย

n ! ! = { 1 ,   if  n = 0  or  n = 1 ; n ( n − 2 ) ! ! if  n ≥ 2. {\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ n = 0, 1, 2,... ได้แก่

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

( n − 2 ) ! ! = n ! ! n {\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ n = -1, -3, -5, -7,... คือ

1, -1, 1/3, -1/15, ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! {\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,} ( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}} Γ ( n + 1 2 ) = π ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n {\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}} Γ ( n 2 + 1 ) = π n ! ! 2 ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

n ! ( k ) = { 1 ,   if  0 ≤ n < k ; n ( n − k ) ! ( k ) , if  n ≥ k .     {\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}

ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}