ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

n ! = ∏ k = 1 n k {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}

หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

n ! = { 1 if  n = 0 ( n − 1 ) ! × n if  n > 0 {\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1\;}

ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

• การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
• ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1)! = n! × (n + 1) ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ n > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี n = 0 ได้ด้วย
• นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
• เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ ( 0 0 ) = 0 ! 0 ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1} หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) n ตัวจากเซตที่มีขนาด n เท่ากับ ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา