(อังกฤษ: Formalizations of abduction)

การจารนัยบนฐานของตรรกศาสตร์

ในตรรกศาสตร์ คำอธิบาย (explanation) จะได้มาด้วยการใช้ทฤษฎีเชิงตรรกะ (Theory (mathematical logic)) T {\displaystyle T} ซึ่งเป็นตัวแทนของขอบเขต (domain of discourse) และเซตของการสังเกตการณ์ O {\displaystyle O} โดยการจารนัยเป็นกระบวนการที่อนุพัทธ์เซตของคำอธิบายของ O {\displaystyle O} ตามทฤษฎี T {\displaystyle T} และเลือกหยิบคำอธิบายหนึ่งในนั้นมาใช้ ส่วน E {\displaystyle E} จะเป็นคำอธิบายของ O {\displaystyle O} ตามทฤษฎี T {\displaystyle T} ได้หรือไม่นั้น มันจะต้องสนองต่อเงื่อนไขสองข้อ:

• O {\displaystyle O} เป็นไปตาม E {\displaystyle E} และ T {\displaystyle T} ;
• E {\displaystyle E} สอดคล้องกับ T {\displaystyle T}

ในตรรกศาสตร์รูปนัย สมมุติให้ O {\displaystyle O} และ E {\displaystyle E} เป็นเซตของสัญพจน์ (Literal (Mathematical logic) เงื่อนไขทั้งสองที่ E {\displaystyle E} จะต้องสนองเพื่อที่จะเป็นคำอธิบายของ O {\displaystyle O} ตามทฤษฎี T {\displaystyle T} ถูกกำหนดรูปเป็น:

T ∪ E ⊨ O ; {\displaystyle T\cup E\models O;} T ∪ E {\displaystyle T\cup E} สอดคล้องกัน.

แต่ละคำอธิบาย E {\displaystyle E} ทั้งหมดที่สนองเงื่อนไขทั้งสองก็ยังต้องผ่านเงื่อนไขด้านความเรียบง่ายข้ออื่น ๆ ด้วย เพื่อหลีกเลี่ยงคำอธิบายที่รวมข้อเท็จจริงที่ไม่เกี่ยวข้องไว้ด้วย (นั่นคือ ข้อเท็จจริงที่ไม่มีส่วนในการได้มาซึ่ง O {\displaystyle O} ) การจารนัยจึงเป็นกระบวนการที่เลือกหยิบสมาชิกของ E {\displaystyle E} จำนวนหนึ่งออกมาเป็นข้อสรุป ซึ่งต้องผ่านเกณฑ์ในการคัดเลือกคำอธิบาย "ที่ดีที่สุด" ซึ่งมีทั้งในด้านความเรียบง่าย (simplicity) ความน่าจะเป็นก่อน และพลังในการอธิบายของคำอธิบายนั้น ๆ

วิธีการจารนัยเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) สำหรับตรรกศาสตร์แบบฉบับอันดับหนึ่งซึ่งใช้แคลคูลัสลำดับ (sequent calculus) และวิธีที่คู่กันซึ่งใช้ต้นไม้ความจริง (วิธีการพิสูจน์ด้วยต้นไม้วิเคราะห์ (Method of Analytic tableaux)) ก็ได้ถูกเสนอขึ้นมา[10]

การโปรแกรมตรรกะเชิงจารนัย (Abductive logic programming) เป็นขอบข่ายการคำนวณที่ขยายการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะแบบปกติด้วยการจารนัย โดยแยกทฤษฎี T {\displaystyle T} เป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งเป็นโปรแกรมเชิงตรรกะปกติที่ถูกใช้เพื่อผลิตคำอธิบาย E {\displaystyle E} ผ่านวิธีการให้เหตุผลย้อนหลัง (backward reasoning) และอีกส่วนเป็นชุดของข้อจำกัดหรือเกณฑ์ด้านบูรณภาพ (integrity) ซึ่งจะถูกนำมาใช้เพื่อคัดกรองคำอธิบายที่เป็นไปได้

การจารนัยแบบปกคลุมเซต

การจารนัยอีกรูปแบบหนึ่งอยู่บนฐานของการผกผันฟังก์ชันที่คำนวณหาผลลัพธ์ของสมมติฐานต่าง ๆ โดยมีเซตของสมมติฐาน H {\displaystyle H} และเซตของผลลัพธ์ M {\displaystyle M} ซึ่งเกี่ยวโยงกันผ่านความรู้จำเพาะ ซึ่งถูกแทนด้วยฟังก์ชัน e ( ) {\displaystyle e()} ที่มีเซตของสมมติฐานเป็นอาร์กิวเมนต์และมีผลลัพธ์ออกมาเป็นเซตของผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน พูดอีกแบบคือ สำหรับเซตย่อยของสมมติฐานทุกเซต H ′ ⊆ H {\displaystyle H'\subseteq H} ผลลัพธ์ของสมมติฐานเซตนั้นถูกเขียนเป็น e ( H ′ ) {\displaystyle e(H')}

การกระทำการจารนัยทำผ่านการหาเซต H ′ ⊆ H {\displaystyle H'\subseteq H} ที่ผลลัพธ์ของมันคือ M ⊆ e ( H ′ ) {\displaystyle M\subseteq e(H')} พูดอีกแบบคือ การจารนัยเป็นการหาเซตของสมมติฐาน H ′ {\displaystyle H'} ที่มีผลลัพธ์เป็น e ( H ′ ) {\displaystyle e(H')} ซึ่งรวมถึงการสังเกตการณ์ M {\displaystyle M} ด้วย

โดยทั่วไป จะสมมุติว่าผลลัพธ์ของสมมติฐานแต่ละอันนั้นเป็นอิสระจากกัน นั่นคือสำหรับทุก ๆ H ′ ⊆ H {\displaystyle H'\subseteq H} นั้น e ( H ′ ) = ⋃ h ∈ H ′ e ( { h } ) {\displaystyle e(H')=\bigcup _{h\in H'}e(\{h\})} การจารนัยสามารถถือได้ว่าเป็นการปกคลุมเซตอีกรูปแบบหนึ่งได้หากเป็นไปตามเงื่อนไขนี้

การตรวจสอบความถูกต้องแบบจารนัย

(อังกฤษ: Abductive validation) การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบจารนัยเป็นกระบวนการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของสมมุติฐานหนึ่งโดยการให้เหตุผลแบบจารนัย ภายใต้หลักการนี้ คำอธิบายจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเป็นคำอธิบายที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดของเซตของข้อมูลที่ถูกรู้ คำอธิบายที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดมักจะถูกนิยามในแง่ของความเรียบง่ายและความงดงาม (ดูมีดโกนอ็อกคัม) การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบจารนัยเป็นการปฏิบัติทั่วไปในการก่อสมมุติฐานในวิชาวิทยาศาสตร์ มากกว่านั้นเพิร์ซก็ได้อ้างว่ามันเป็นแง่มุมของความคิดที่พบได้ทั่วไป

เมื่อมองออกนอกหน้าต่างของผมเมื่อเช้าฤดูใบไม้ผลินี้ ผมเห็นดอกอาซาเลียบานสะพรั่ง ไม่ ไม่! ผมไม่ได้เห็นสิ่งนั้น แต่ว่านั่นเป็นทางเดียวที่ผมจะพรรณนาสิ่งที่ผมเห็นได้ มันเป็นประพจน์ เป็นประโยค เป็นข้อเท็จจริง แต่สิ่งที่ผมรับรู้นั้นไม่ใช่ประพจน์ ไม่ใช่ประโยค ไม่ใช่ข้อเท็จจริง แต่เป็นเพียงภาพที่ผมทำให้เข้าใจได้ด้วยวิธีของการกล่าวข้อเท็จจริง การกล่าวหรือข้อความนั้นเป็นอัตวิสัย แต่สิ่งที่ผมเห็นเป็นรูปธรรม ผมกระทำการจารนัยเมื่อผมแสดงทุก ๆ สิ่งที่เห็นในรูปของประโยค ความจริงก็คือเนื้อผ้าของความรู้ทั้งหมดของเราเป็นเพียงผ้าขนสัตว์ด้าน ๆ ของสมมติฐานบริสุทธิ์ที่ถูกยืนยันแหละกลั่นกรองโดยการอุปนัย ไม่มีทางที่ความรู้จะก้าวหน้าเกินด่านของการเพ่งมองที่ว่างเปล่าหากไม่มีการจารนัยในทุก ๆ ขั้นตอน[11]

"ข้อเท็จจริงไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมมติฐานที่วิเศษวิโสกว่าตัวข้อเท็จจริงเอง และจะต้องยอมรับสมมติฐานที่พิเศษหรือวิสามัญน้อยที่สุดมาใช้" เป็นคติพจน์ของเพิร์ซ[12] หลังจากที่ได้สมมติฐานที่เป็นไปได้ที่อาจอธิบายข้อเท็จจริงนั้นมา การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบจารนัยเป็นวิธีการระบุตัวสมมติฐานที่ควรจะเป็นมากที่สุดและควรยอมรับมาใช้มากที่สุด

การจารนัยตรรกศาสตร์อัตวิสัย

(อังกฤษ: Subjective logic abduction) ตรรกศาสตร์อัตวิสัย (subjective logic) วางนัยทั่วไปตรรกศาสตร์เชิงน่าจะเป็น (probabilistic logic) โดยการรวมระดับของความไม่แน่นอนไว้ในอาร์กิวเมนต์เข้า นั่นคือ นอกเหนือจากการกำหนดความน่าจะเป็นแล้ว นักวิเคราะห์ก็สามารถกำหนดความคิดเห็นที่เป็นอัตวิสัยต่อตัวแปรอาร์กิวเมนต์ การจารนัยในตรรกศาสตร์อัตวิสัยนั้นจึงเป็นการวางนัยทั่วไปของการจารนัยเชิงความน่าจะเป็นที่ได้บรรยายไว้ข้างบน[13] อาร์กิวเมนต์เข้าในตรรกศาสตร์อัตวิสัยเป็นความคิดเห็นที่เป็นอัตวิสัยซึ่งสามารถเป็นทวินามได้เมื่อความคิดเห็นนั้นนำมาใช้กับตัวแปรทวิภาค หรือเป็นอเนกนามเมื่อนำมาใช้กับตัวแปร "n"-ภาค ความคิดเห็นอัตวิสัยจึงนำมาใช้กับตัวแปร X {\displaystyle X} ซึ่งนำค่าของตัวเองจากขอบเขต X {\displaystyle \mathbf {X} } (นั้นคือ ปริภูมิสถานะของค่า x {\displaystyle x} ที่ถี่ถ้วนและไม่มีส่วนร่วมซึ่งกันและกัน) และถูกแสดงเป็นหลายสิ่งอันดับ ω X = ( b X , u X , a X ) {\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!} โดย b X {\displaystyle b_{X}\,\!} เป็นการกระจายตัวของมวลความเชื่อ (ฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass distribution)) เทียบกับ X {\displaystyle \mathbf {X} \,\!} , u X {\displaystyle u_{X}\,\!} เป็นมวลความไม่แน่นอน และ a X {\displaystyle a_{X}\,\!} เป็นการกระจายตัวอัตราพื้นฐาน (base rate) เทียบกับ X {\displaystyle X\,\!} ตัวแปรเสริมเหล่านี้สนอง u X + ∑ b X ( x ) = 1 {\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!} และ ∑ a X ( x ) = 1 {\displaystyle \sum a_{X}(x)=1\,\!} รวมไปถึง b X ( x ) , u X , a X ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1].\,\!} .

สมมุติขอบเขต X {\displaystyle \mathbf {X} } และ Y {\displaystyle \mathbf {Y} } ด้วยตัวแปร X {\displaystyle X} และ Y {\displaystyle Y} ตามลำดับ เซตของความคิดเห็นมีเงื่อนไข ω X ∣ Y {\displaystyle \omega _{X\mid Y}} (นั่นคือ ความคิดเห็นมีเงื่อนไขหนึ่งความคิดเห็นสำหรับค่า y {\displaystyle y} แต่ละค่า) และการกระจายตัวอัตราพื้นฐาน a Y {\displaystyle a_{Y}} ทฤษฎีบทของเบย์อัตวิสัยซึ่งถูกแสดงเป็นตัวดำเนินการ ϕ ~ {\displaystyle \;{\widetilde {\phi }}} ตามตัวแปรเสริมเหล่านี้ผลิตเซตของเงื่อนไขผกผัน ω Y ∣ ~ X {\displaystyle \omega _{Y{\tilde {\mid }}X}} (นั้นคือ เงื่อนไขผกผันหนึ่งเงื่อนไขสำหรับค่า x {\displaystyle x} แต่ละค่า) สามารถแสดงเป็น:

ω Y | ~ X = ω X | Y ϕ ~ a Y {\displaystyle \omega _{Y{\tilde {|}}X}=\omega _{X|Y}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{Y}} .

เราสามารถใช้การนิรนัยอัตวิสัยที่แสดงเป็นตัวดำเนินการ ⊚ {\displaystyle \circledcirc } จารนัยความคิดเห็นขอบ ω Y ‖ ¯ X {\displaystyle \omega _{Y\,{\overline {\|}}\,X}} โดยการใช้เงื่อนไขผกผันเหล่านั้นร่วมกับความคิดเห็น ω X {\displaystyle \omega _{X}} ภาวะเท่ากันระหว่างนิพจน์ต่าง ๆ สำหรับการจารนัยอัตวิสัยอยู่ข้างใต้:

ω Y ‖ ~ X = ω X ∣ Y ⊚ ~ ω X = ( ω X ∣ Y ϕ ~ a Y ) ⊚ ω X = ω Y | ~ X ⊚ ω X {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{Y\,{\widetilde {\|}}\,X}&=\omega _{X\mid Y}\;{\widetilde {\circledcirc }}\;\omega _{X}\\&=(\omega _{X\mid Y}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{Y})\;\circledcirc \;\omega _{X}\\&=\omega _{Y{\widetilde {|}}X}\;\circledcirc \;\omega _{X}\end{aligned}}}

สัญกรณ์สำหรับการจารนัยอัตวิสัยคือ " ‖ ~ {\displaystyle {\widetilde {\|}}} " และตัวดำเนินการก็จะถูกแทนเป็น " ⊚ ~ {\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}} " ตัวดำเนินการสำหรับทฤษฎีบทของเบย์อัตวิสัยถูกแสดงเป็น " ϕ ~ {\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}} " และการนิรนัยอัตวิสัยถูกแสดงเป็น " ⊚ {\displaystyle \circledcirc } "[13]

ความได้เปรียบของการใช้การจารนัยตรรกศาสตร์อัตวิสัยเมื่อเปรียบเทียบกับการจารนัยความน่าจะเป็นคือว่าความไม่แน่นอนเรื่องความน่าจะเป็นของอาร์กิวเมนต์เข้าสามารถแสดงได้อย่างแน่ชัดและนำมาพิจารณาในการวิเคราะห์ได้ มันจึงเป็นไปได้ที่จะกระทำการวิเคราะห์แบบจารนัยในการมีอยู่ของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่แน่นอนซึ่งตามธรรมชาติส่งผลลัพธ์เป็นระดับของความไม่แน่นอนในข้อสรุปออก