Argument terminology

การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นรูปแบบของการอ้างที่อนุญาตให้ข้อสรุปมีโอกาสเป็นเท็จมากกว่าเมื่อเทียบกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย แม้ข้อตั้งส่วนใหญ่จะเป็นจริงก็ตาม[12] แทนที่จะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผล การอ้างแบบอุปนัยจะ เข้ม หรือ อ่อน ขึ้นอยู่กับว่าข้อสรุปมันน่าจะเป็นจริงหรือไม่[13] เราอาจบอกว่าการอ้างแบบอุปนัยเป็นไปได้ น่าจะเป็น มีเหตุผล มีความเที่ยงธรรม หรือชัดเจน แต่ไม่มีวันแน่นอน หรือมีความจำเป็น ในตรรกศาสตร์ไม่มีสะพานเชื่อมความน่าจะเป็นสู่ความจำเป็น

เราสามารถแสดงให้เห็นการไร้ประโยชน์ของการบรรลุถึงความแน่นอนจากการรวบรวมความน่าจะเป็นจนถึงขนาดวิกฤตหนึ่งได้ผ่านการทอยเหรียญ สมมุติมีคนเอาเหรียญมาให้เราดูแล้วบอกว่าจะพิสูจน์ว่าเป็นเหรียญธรรมดาที่ยุติธรรมหรือเหรียญสองหัวที่ลำเอียง เขาทอยเหรียญสิบครั้งแล้วทุก ๆ ครั้งได้หัวตลอด ณ จุดนี้เรามีเหตุผลมากพอที่จะเชื่อว่าเหรียญนี้มันเป็นเหรียญสองหัว ที่สุดแล้ว โอกาสที่เหรียญจะออกหัวติดกันสิบครั้งนั้นมีค่าเท่ากับ .000976 น้อยกว่าหนึ่งในพันครั้งเสียอีก ต่อจากนั้น เขาลองทอยอีกรอบหนึ่งร้อยครั้ง ทุกครั้งก็ยังออกหัวเหมือนเดิม ตอนนี้เรา "เสมือน" จะแน่ใจแล้วว่าเหรียญนี้มันสองหัวจริง ๆ แต่แล้วเราก็ไม่สามารถพิสูจน์อย่างมีตรรกะหรือประจักษ์ได้ว่าถ้าทอยอีกครั้งแล้วจะไม่ออกหาง มันจะยังคงเป็นดังนี้ไม่สำคัญว่าจะทอยออกหัวติดกันอีกสักกี่รอบ หากมีใครเขียนโปรแกรมให้ทอยเหรียญซ้ำไปมาเรื่อย ๆ ณ จุด ๆ นึงผลอาจเป็นหัว 100 ครั้ง แต่ในเวลาเต็มทั้งหมดการจัดเรียงทุกรูปแบบจะปรากฏออกมา

ส่วนโอกาสอันน้อยนิดที่จะได้หัวติดกันสิบครั้งจากเหรียญยุติธรรม - ผลที่ทำให้เหรียญถูกกลาวหาว่าสองหัว - หลายคนอาจตกใจที่จะได้รู้ว่าโอกาสที่จะได้การจัดเรียงใด ๆ นั้นเท่ากันหมด (เช่น หัว-หัว-หาง-หาง-หัว-หาง-หัว-หัว-หัว-หาง) แต่แล้วมันก็เกิดขึ้นใน ทุก ๆ รอบที่ทอยสิบครั้ง นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ ทั้งหมด สำหรับการทอยสิบครั้งมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดเท่ากับการที่ออกหัวติดกันสิบครั้ง ซึ่งเท่ากับ 0.000976 ถ้ามีใครบันทึกลำดับ หัว-หาง สิบที่ใด ๆ ก็ตามโดยไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นรูปแบบไหนI ลำดับนั้น ๆ ก็จะมีโอกาสออกเท่ากับ 0.000976

การอ้างเป็นแบบนิรนัยเมื่อข้อสรุปนั้นจำเป็นเนื่องจากข้อตั้ง นั่นคือ ข้อสรุปนั้นไม่สามารถเป็นเท็จได้เมื่อข้อตั้งเป็นจริง

ถ้าข้อสรุปแบบนิรนัยเป็นผลอย่างถูกต้องจากข้อตั้ง แล้วมันถูกต้อง มิฉะนั้น มันไม่สมเหตุสมผล (การที่การอ้างใด ๆ ไม่สมเหตุสมผลไม่ได้หมายความว่ามันเป็นเท็จ ข้อสรุปอาจเป็นจริง เพียงแต่ไม่ได้เป็นเนื่องจากข้อตั้ง) การพิจารณาตัวอย่างดังต่อไปจะแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างข้อตั้งกับข้อสรุปเป็นดังว่าความเป็นจริงของข้อสรุปนั้นอยู่ในข้อตั้งเป็นปริยายแล้ว คนโสดไม่มีแฟนเพราะเรา ว่า อย่างนั้น เราได้นิยามไว้ดังนั้น โสกราตีสเป็นมัตตัย เพราะเรานับเขารวมไว้ในเซตของสิ่งที่ดำรงอยู่ที่เป็นมัตตัย ข้อสรุปสำหรับการอ้างแบบนิรนัยที่สมเหตุสมผลนั้นถูกจำกัดไว้ในข้อตั้งอยู่แล้ว เนื่องจากความเป็นจริงของมันนั้นเป็นเรื่องของความสัมพันธ์เชิงตรรกะโดยแท้ มันพูดมากกว่าข้อตั้งไม่ได้ กลับกันนั้น ข้อตั้งแบบอุปนัยนำมาซึ่งเนื้อหาของมันจากข้อเท็จจริงและหลักฐาน และข้อสรุปก็อ้างหรือทำนายตามข้อเท็จจริงไปตามนั้น ความน่าเชื่อถือของมันผันแปรไปตามสัดส่วนตามหลักฐาน การอุปนัยต้องการเปิดเผยบางอย่างที่ ใหม่ เกี่ยวกับโลก อาจกล่าวได้ว่าการอุปนัยต้องการจะพูด มากกว่า ที่ถูกจำกัดไว้ในข้อตั้ง

เพื่อที่จะเห็นความแตกต่างระหว่างการอ้างแบบอุปนัยและแบบนิรนัยได้ดีขึ้น ลองคิดดูถ้าบอกว่า: "สี่เหลี่ยมที่เคยเห็นมาจนถึงตอนนี้มีมุมฉากสี่มุม ดังนั้นสี่เหลี่ยมอันต่อไปจะมีมุมฉากสี่มุม" ก็จะไม่เข้าท่า เพราะปฏิบัติต่อความสัมพันธ์เชิงตรรกะเป็นอย่างสิ่งที่เท็จจริงหรือค้นพบได้ และดังนั้นผันแปรได้และไม่แน่นอน ในทางเดียวกัน อาจบอกแบบนิรนัยได้ว่า: "ยูนิคอร์นทุกตัวบินได้ ฉันมียูนิคอร์นชื่อปีเตอร์ ปีเตอร์บินได้" การอ้างแบบนิรนัยแบบนี้นั้นถูกต้องเพราะความสัมพันธ์เชิงตรรกะนี้สมบูรณ์ เราไม่สนถึงความสมเหตุสมผลเท็จจริง

การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่แน่นอน (uncertainty) โดยธรรมชาติ มันจัดการกับข้อสรุปที่ "น่าเชื่อถือ" ตามทฤษฎีใดเกี่ยวกับหลักฐานเนื่องมาจากข้อตั้งที่ได้มา ตัวอย่างเช่นตรรกศาสตร์ค่าหลากหลาย (many-valued logic), ทฤษฎีเดมพ์สเตอร์เชเฟอร์ (dempster-shafer theory), หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยกฏแห่งการอนุมานเช่นกฏของเบย์ (baye's theorem) การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่ได้พึ่งพาขอบเขตแห่งการสนทนาที่ปิด (closed world assumption) เพื่อนำมาซึ่งข้อสรุปแบบการให้เหตุผลแบบนิรนัย จึงสามารถนำมาใช้ได้แม้ในกรณีที่มีความไม่แน่นอนทางญาณวิทยา (open world assumption) (อาจมีปัญหาทางเทคนิคเกิดขึ้น เช่นสัจพจน์ข้อสองของความน่าจะเป็นเป็นสมมุติฐานโลกที่เปิด) [14]

ความแตกต่างที่สำคัญอีกอันหนึ่งระหว่างการอ้างสองรูปแบบนี้คือ ความแน่นอนแบบนิรนัยนั้นเป็นไปไม่ได้ในระบบไร้สัจพจน์เช่นความเป็นจริง ทำให้เหลือการให้เหตุผลแบบอุปนัยทิ้งไว้เท่านั้นที่เป็นเส้นทางหลักสู่ความรู้ (ที่เป็นในรูปแบบความน่าจะเป็น) ในระบบเหล่านั้น [15]

ได้ว่า "ถ้า ก เป็นจริง แล้วจะทำให้ ข, ค และ ง เป็นจริง" ตัวอย่างของการนิรนัยเป็นเช่น "ก เป็นจริง ดังนั้นนิรนัยได้ว่า ข, ค และ ง เป็นจริง" ตัวอย่างของการอุปนัยเป็นเช่น "ข, ค และ ง ถูกสังเกตว่าเป็นจริง เพราะฉะนั้น ก อาจเป็นจริง" ก เป็นคำอธิบายที่มีเหตุผลที่ ข, ค และ ง เป็นจริง

ตัวอย่างเช่น:

การพุ่งชนของดาวเคราะห์น้อยขนาดกับโลกจะสร้างหลุมพุ่งชนขนาดใหญ่มากและทำให้เกิดฤดูหนาวดาวพุ่งชนโลกที่สามารถฆ่าล้างไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้จนสูญพันธ์เราสังเกตเจอหลุมพุ่งชนขนาดใหญ่ (chicxulub crater) อยู่ในอ่าวเม็กซิโกซึ่งมีอายุใกล้เคียงกับเหตุการณ์สูญพันธุ์ของไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้เพราะฉะนั้น เป็นไปได้ที่การพุ้งชนนี้จะอธิบายว่าไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้สูญพันธุ์ไปอย่างไร

แต่ทราบว่าคำอธิบายดาวเคราะห์น้อยนี้ไม่จำเป็นต้องถูก อาจมีเหตุการณ์อื่นที่มีความสามารถส่งผลต่อสภาพอากาศโลกที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกันกับเหตุการณ์การสูญพันธุ์ของไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้ เช่นการปดปล่อยก๊าซภูเขาไฟ (โดยเฉพาะซัลเฟอร์ไดออกไซด์) ในระหว่างการก่อตัวของหินทรัปป์เดกกันในอินเดีย

ตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอีกอันคือ:

สิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่เรารู้จักทั้งหมดพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิตเพราะฉะนั้น ถ้าเราค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่ มันน่าจะพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีอชีวิต

สามารถอ้างแบบนี้ได้ทุกครั้งที่ค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่ และอาจถูกทุกครั้ง แต่มันเป็นไปได้ที่ในอนาคตจะค้นพบสิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่ไม่ต้องการน้ำเหลว ดังนั้นการอ้างนี้อาจกล่าวใหม่ได้เป็นทางการน้อยกว่าว่า:

สิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่เรารู้จักทั้งหมดพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิตสิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาทั้งหมดน่าจะพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิต

ตัวอย่างสุดคลาสสิกของการอ้างแบบอุปนัยที่ ไม่ถูกต้อง ได้นำเสนอโดยจอห์น วิกเกอร์ส:

หงส์ทุกตัวที่ได้เห็นมาเป็นสีขาวเพราะฉะนั้น เรารู้ว่าหงส์ทุกตัวสีขาว

ข้อสรุปที่ถูกจะเป็น: เราคาด (expectation (epistemic))ว่าหงส์ทุกตัวสีขาว

พูดสั้น ๆ ได้ว่า: การนิรนัยเกี่ยวกับ ความแน่นอน/ความจำเป็น การอุปนัยเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็น[6] ทุก ๆ การอ้างจะเป็นหนึ่งในสองรูปแบบนั้น อีกแนวทางการวิเคราะห์การให้เหตุผลคือตรรกศาสตร์ทัศนภาวะ (modal logic) ซึ่งจัดการกับการแบ่งแยกระหว่าง ความจำเป็น และ ความเป็นไปได้ โดยไม่ได้สนใจถึงความน่าจะเป็นในสิ่งที่ถือว่าเป็นไปได้

นิยามทางปรัชญาของอการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นแตกต่างจากการพัฒนาง่าย ๆ จากตัวอย่างเฉพาะใด ๆ ไปสู่การวางนัยทั่วไป/เหมารวมกว้าง ๆ เล็กน้อย เพียงแต่ว่าข้อตั้งของการอ้าง (argument) เชิงตรรกะแบบอุปนัยแสดงการสนับสนุนแต่ไม่ได้ส่งผล (logical consequence) ต่อความน่าจะเป็นแบบอุปนัยของข้อสรุปปริมาณหนึ่ง นั่นคือ มันเสนอแต่ไม่ได้รับรองความเท็จจริง มันมีความเป็นไปได้ที่จะนำการวางนัยทั่วไปไปสู่กรณีเฉพาะในกิริยานี้ (เช่น ตรรกบทสถิติ มีต่อด้านล่าง)

ทราบว่านิยามของการให้เหตุผลแบบอุปนัยที่ระบุในที่นี่ต่างจากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบของการให้เหตุผลแบบนิรนัย กางอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของเซตที่ถูกนิยามแบบเวียนบังเกิดอย่างเคร่งครัด[16] ความเป็นนิรนัยของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาจากหลักที่ว่ามีจำนวนกรณีที่ไม่จำกัด ซึ่งตรงข้ามกับจำนวนกรณีที่จำกัดที่มีส่วนในกระบวนการการอุปนัยแบบแจงนับเช่นการพิสูจน์โดยแจงกรณี (proof by exhaustion) ทั้งการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และการพิสูจน์โดยแจงกรณีเป็นตัวอย่างของการอุปนัยสมบูรณ์