เราไม่จำเป็นต้องให้ f {\displaystyle f} ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า f {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} และ x 0 {\displaystyle x_{0}} เป็นจำนวนในช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ซึ่ง f {\displaystyle f} ต่อเนื่องที่ x 0 {\displaystyle x_{0}} จะได้

F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t}

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} และ F ( x 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0})} เราสามารถคลายเงื่อนไขของ f {\displaystyle f} เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน F {\displaystyle F} นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน f {\displaystyle f} ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ F {\displaystyle F} (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ U {\displaystyle U} เป็นเซตเปิดใน C {\displaystyle \mathbb {C} } และ f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ F {\displaystyle F} ใน U {\displaystyle U} ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง γ : [ a , b ] → U {\displaystyle \gamma :[a,b]\to U} ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

∮ γ ⁡ f ( z ) d z = F ( γ ( b ) ) − F ( γ ( a ) ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))}

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้