ส่วนที่ 1

กำหนดให้

F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}

ให้ x1 และ x1 + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

F ( x 1 ) = ∫ a x 1 f ( t ) d t {\displaystyle F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt}

และ

F ( x 1 + Δ x ) = ∫ a x 1 + Δ x f ( t ) d t {\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

F ( x 1 + Δ x ) − F ( x 1 ) = ∫ a x 1 + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x 1 f ( t ) d t ( 1 ) {\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt\qquad (1)}

เราสามารถแสดงได้ว่า

∫ a x 1 f ( t ) d t + ∫ x 1 x 1 + Δ x f ( t ) d t = ∫ a x 1 + Δ x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x_{1}}f(t)dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt} (ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

∫ a x 1 + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x 1 f ( t ) d t = ∫ x 1 x 1 + Δ x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

F ( x 1 + Δ x ) − F ( x 1 ) = ∫ x 1 x 1 + Δ x f ( t ) d t ( 2 ) {\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt\qquad (2)}

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ที่ทำให้

∫ x 1 x 1 + Δ x f ( t ) d t = f ( c ) Δ x {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x}

แทนค่าลงใน (2) ได้

F ( x 1 + Δ x ) − F ( x 1 ) = f ( c ) Δ x {\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,}

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

F ( x 1 + Δ x ) − F ( x 1 ) Δ x = f ( c ) {\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c)} สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x1

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

lim Δ x → 0 F ( x 1 + Δ x ) − F ( x 1 ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( c ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)}

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x1

F ′ ( x 1 ) = lim Δ x → 0 f ( c ) ( 3 ) {\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)\qquad (3)}

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ดังนั้น x1 ≤ c ≤ x1 + Δx

จาก lim Δ x → 0 x 1 = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}} และ lim Δ x → 0 x 1 + Δ x = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}}

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

lim Δ x → 0 c = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}}

แทนค่าลงใน (3) จะได้

F ′ ( x 1 ) = lim c → x 1 f ( c ) {\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)}

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

F ′ ( x 1 ) = f ( x 1 ) {\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1})\,}

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle F(b)-F(a)\,}

ให้ a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n − 1 < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b} จะได้

F ( b ) − F ( a ) = F ( x n ) − F ( x 0 ) {\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,}

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

F ( b ) − F ( a ) = F ( x n ) + [ − F ( x n − 1 ) + F ( x n − 1 ) ] + … + [ − F ( x 1 ) + F ( x 1 ) ] − F ( x 0 ) = [ F ( x n ) − F ( x n − 1 ) ] + [ F ( x n − 1 ) + … − F ( x 1 ) ] + [ F ( x 1 ) − F ( x 0 ) ] {\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,\end{matrix}}}

เขียนใหม่เป็น

F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) − F ( x i − 1 ) ] ( 1 ) {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\qquad (1)}

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}

และจะได้

f ′ ( c ) ( b − a ) = f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\,}

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง xi-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

F ( x i ) − F ( x i − 1 ) = F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) {\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,}

แทนค่าลงใน (1) จะได้

F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]}

จาก F ′ ( c i ) = f ( c i ) {\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})\,} และ x i − x i − 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}} สามารถเขียนในรูป Δ x {\displaystyle \Delta x} ของผลแบ่งกั้น i {\displaystyle i}

F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] ( 2 ) {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\qquad (2)}

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้งสังเกตอีกว่า Δ x i {\displaystyle \Delta x_{i}} ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ i {\displaystyle i} หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม n {\displaystyle n} รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ n {\displaystyle n} มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

lim ‖ Δ ‖ → 0 F ( b ) − F ( a ) = lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] d x {\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,dx}

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

F ( b ) − F ( a ) = lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]}

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

จบการพิสูจน์