บัดนี้ เราจะได้เห็นวิธีการเขียนสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในรูปแบบที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน ตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ในปริภูมิ-เวลา สามารถกำหนดโดย contravariant four vector ซึ่งมีองค์ประกอบ คือ

x ν = ( t , x , y , z ) {\displaystyle x^{\nu }=\left(t,x,y,z\right)}

หมายความว่า x 0 = t {\displaystyle x^{0}=t} และ x 1 = x {\displaystyle x^{1}=x} และ x 2 = y {\displaystyle x^{2}=y} และ x 3 = z {\displaystyle x^{3}=z} . ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:

∂ 0 ϕ = ∂ ϕ ∂ t , ∂ 1 ϕ = ∂ ϕ ∂ x , ∂ 2 ϕ = ∂ ϕ ∂ y , ∂ 3 ϕ = ∂ ϕ ∂ z . {\displaystyle \partial _{0}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}},\quad \partial _{1}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}},\quad \partial _{2}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial y}},\quad \partial _{3}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}

เมตริกซ์และการแปลงพิกัด

จากการระลึถึงธรรมชาติสี่มิติของปริภูมิ-เวลา เราถูกชักจูงให้สร้าง Minkowski metric, η, กำหนดให้มีองค์ประกอบ (ใช้ได้ใน กรอบอ้างอิงเฉื่อย ใด ๆ) คือ

η α β = ( − c 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

และส่วนกลับของมันคือ

η α β = ( − 1 / c 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1/c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

ภายใต้เงื่อนไข

η α β η α β = I {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\eta ^{\alpha \beta }=I}

จากนั้น เราระลึกได้ว่าการแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นกำหนดโดย Lorentz transformation tensor Λ. สำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เราจะได้

( t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( γ − β γ / c 0 0 − β γ c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( t x y z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma /c&0&0\\-\beta \gamma c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}

หรือ

Λ μ ′ ν = ( γ − β γ / c 0 0 − β γ c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma /c&0&0\\-\beta \gamma c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

ซึ่งก็คือ matrix of a boost (เช่นการหมุน) ระหว่างพิกัด x กับ t เมื่อ μ' บอกแถว และ ν บอกคอลัมน์ ค่า β และ γ ยังนิยามเป็น

β = v c ,   γ = 1 1 − β 2 . {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

เพื่อให้ทั่วไปยิ่งขึ้น การแปลงจากกรอบอ้างอิงหนึ่ง (ซึ่งไม่สนการแปลงเพื่อความเรียบง่าย) ไปยังอีกกรอบ ต้องทำให้

η α β = η μ ′ ν ′ Λ μ ′ α Λ ν ′ β {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }\!}

เมื่อมี implied summation ของ μ ′ {\displaystyle \mu '\!} และ ν ′ {\displaystyle \nu '\!} จาก 0 ถึง 3 บนหลักมือขวาซึ่งสอดคล้องกับ Einstein summation convention Poincaré group เป็นกลุ่มที่ทั่วไปที่สุดของการแปลงซึ่งยังคงรักษาi Minkowski metric ไว้ และนี่เป็นสมมาตรทางกายภาพภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพอีกด้วย

ปริมาณทางกายภาพแท้ทั้งหมดกำหนดโดยเทนเซอร์ ดังนั้นเพื่อการแปลงกรอบหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง เราใช้จะกฎที่รู้จักกันดีในชื่อ tensor transformation law

T [ j 1 ′ , j 2 ′ , . . . j q ′ ] [ i 1 ′ , i 2 ′ , . . . i p ′ ] = Λ i 1 ′ i 1 Λ i 2 ′ i 2 . . . Λ i p ′ i p Λ j 1 ′ j 1 Λ j 2 ′ j 2 . . . Λ j q ′ j q T [ j 1 , j 2 , . . . j q ] [ i 1 , i 2 , . . . i p ] {\displaystyle T_{\left[j_{1}',j_{2}',...j_{q}'\right]}^{\left[i_{1}',i_{2}',...i_{p}'\right]}=\Lambda ^{i_{1}'}{}_{i_{1}}\Lambda ^{i_{2}'}{}_{i_{2}}...\Lambda ^{i_{p}'}{}_{i_{p}}\Lambda _{j_{1}'}{}^{j_{1}}\Lambda _{j_{2}'}{}^{j_{2}}...\Lambda _{j_{q}'}{}^{j_{q}}T_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}}

เมื่อ Λ j k ′ j k {\displaystyle \Lambda _{j_{k}'}{}^{j_{k}}\!} เป็นเมตริกซ์ส่วนกลับของ Λ j k ′ j k {\displaystyle \Lambda ^{j_{k}'}{}_{j_{k}}\!} .

เพื่อให้เห็นว่ามันมีประโยชน์อย่างไร เราจะแปลงตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่งจากระบบพิกัดไม่มีเครื่องหมายไพรม์ S ไปยังระบบมีไพรม์ S' เราคำนวณได้ว่า

( t ′ x ′ y ′ z ′ ) = x μ ′ = Λ μ ′ ν x ν = ( γ − β γ / c 0 0 − β γ c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( t x y z ) = ( γ t − γ β x / c γ x − β γ c t y z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=x^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }x^{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma /c&0&0\\-\beta \gamma c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma t-\gamma \beta x/c\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}}

ซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์ให้ผลเหมือนกัน เทนเซอร์ทุกตัวแปลงด้วยกฎเดียวกัน

ความยาวกำลังสองของดิฟเฟอเรนเชียลของ position four-vector d x μ {\displaystyle dx^{\mu }\!} ซึ่งหาได้โดย

d x 2 = η μ ν d x μ d x ν = − ( c ⋅ d t ) 2 + ( d x ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 {\displaystyle \mathbf {dx} ^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-(c\cdot dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}\,}

เป็นปริมาณไม่แปรเปลี่ยน การไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่ามันให้ค่าเดิมเสมอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะมันเป็นสเกลาร์ (0 rank tensor) และดังนั้นจึงไม่มี Λ ปรากฏในการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ระลึกไว้ว่าเมื่อ line element d x 2 {\displaystyle \mathbf {dx} ^{2}} เป็นลบ d τ = − d x 2 / c {\displaystyle d\tau ={\sqrt {-\mathbf {dx} ^{2}}}/c} จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper time ในขณะที่ เมื่อ d x 2 {\displaystyle \mathbf {dx} ^{2}} เป็นบวก d x 2 {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {dx} ^{2}}}} จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper distance

ค่าพื้นฐานของการจัดรูปสมการทางฟิสิกส์ในรูปของเทนเซอร์ คือสิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้the Poincaré group อย่างชัดเจน จนทำให้เราไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติมที่น่าเบื่อหน่ายเพื่อตรวจสอบความจริงนี้ เช่นเดียวกับการสร้างสมการ เรามักพบว่าสมการที่ตอนแรกดูจะไม่เกี่ยวข้องกันนั้น อันที่จริงแล้ว มันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดในการเป็นส่วนหนึ่งของสมการเทนเซอร์เดียวกัน

ความเร็วและความเร่งใน 4 มิติ

การเขียนปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ เป็นเทนเซอร์สามารถนำมาซึ่งกฎการแปลงได้เรียบง่ายขึ้นเช่นกัน อย่างแรก ระลึกไว้ว่า velocity four-vector Uμ กำหนดโดย

U μ = d x μ d τ = ( γ γ v x γ v y γ v z ) {\displaystyle U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}\gamma \\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}}

จากการเขียนเช่นนี้ เราสามารถกลับมามองกฎการรวมความเร็วในรูปแบบอย่างง่ายเกี่ยวกับการแปลง velocity four-vector ของอนุภาคจากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง Uμ จึงมีรูปแบบไม่แปรเปลี่ยน คือ

U 2 = η ν μ U ν U μ = − c 2 . {\displaystyle {\mathbf {U} }^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}.}

ดังนั้น velocity four-vector ทุกตัวจึงมีขนาดเท่ากับ c นี่เป็นสิ่งที่บอกความจริงว่าไม่มีวัตถุใดอยู่นิ่งในสัมพัทธภาพ อย่างน้อยที่สุด คุณก็ต้องเคลื่อนที่ไปในเวลา acceleration 4-vector กำหนดโดย A μ = d U μ / d τ {\displaystyle A^{\mu }=d{\mathbf {U} ^{\mu }}/d\tau } . เมื่อได้ดังนั้น ทำการ differentiate สมการข้างต้นด้วย τ จะได้

2 η μ ν A μ U ν = 0. {\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.\!}

ดังนั้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพ acceleration four-vector กับ velocity 4-vector ตั้งฉากกัน

โมเมนตัมใน 4 มิติ

โมเมนตัมและพลังงานรวมอยู่ใน covariant 4-vector:

p ν = m ⋅ η ν μ U μ = ( − E p x p y p z ) . {\displaystyle p_{\nu }=m\cdot \eta _{\nu \mu }U^{\mu }={\begin{pmatrix}-E\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}.}

เมื่อ m คือ มวลไม่แปรเปลี่ยน

ปริมาณไม่แปรเปลี่ยน (invarient) ของ momentum 4-vector คือ:

p 2 = η μ ν p μ p ν = − ( E / c ) 2 + p 2 . {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }=-(E/c)^{2}+p^{2}.}

เราสามารถทำออกมาได้ว่า ค่าไม่แปรเปลี่ยนนี้ เนื่องจากมันเป็นสเกลาร์ จึงไม่เกี่ยวข้องกับว่าเราใช้กรอบอ้างอิงไหนในการคำนวณ หลังจากนั้นโดยการแปลงกรอบที่ทำให้โมเมนคัมรวมเป็นศูนย์

p 2 = − ( E r e s t / c ) 2 = − ( m ⋅ c ) 2 . {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=-(E_{rest}/c)^{2}=-(m\cdot c)^{2}.}

เราจะพบว่า พลังงานนิ่งเป็นค่าไม่แปรเปลี่ยนซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง พลังงานนิ่งสามารถคำนวณได้แม้ในระบบที่อนุภาคและระบบกำลังเคลื่อนที่ เพียงแปลงกรอบไปยังกรอบที่ทำให้โมเมนตัมเป็นศูนย์เท่านั้น

พลังงานนิ่งสัมพันธ์กับมวลตามสมการอันน่ายินดีที่เราได้พูดถึงไปแล้ว

E r e s t = m c 2 {\displaystyle E_{rest}=mc^{2}\,}

ระลึกไว้ว่า มวลของระบบวัดในกรอบศูนย์กลางของโมเมนตัม (center of momentum frame) (เมื่อโมเมนตัมลัพธ์เป็นศูนย์) นั้นกำหนดโดยพลังงานรวมของระบบในกรอบอ้างอิงนั้น มันไม่ได้เท่ากับผลรวมของมวลแต่ละก้อนที่วัดในกรอบอ้างอิงอื่น

แรงใน 4 มิติ

เมื่อใช้ กฎข้อที่สามของนิวตัน แรงทั้งสองต้องนิยามจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งใช้พิกัดเวลาเดียวกัน กล่าวคือ เราต้องใช้แรงใน 3 มิติในการนิยามข้างต้น โชคร้ายที่ไม่มีเทนเซอร์ใน 4 มิติใดที่บรรจุองค์ประกอบของเวกเตอร์แรง 3 มิติตามองค์ประกอบต่าง ๆ ของมัน

ถ้าวัตถุไม่ได้เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว c เราสามารถแปลงแรงใน 3 มิติจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ร่วมไปกับวัตถุไปยังกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตได้ นั่นนำมาซึ่ง 4-vector ซึ่งเรียกว่า four-force มันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ four-vector พลังงาน-โมเมนตัม เทียบกับ proper time รูป covariant version ของ four force คือ

F ν = d p ν d τ = ( − d E / d τ d p x / d τ d p y / d τ d p z / d τ ) {\displaystyle F_{\nu }={\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}-{dE}/{d\tau }\\{dp_{x}}/{d\tau }\\{dp_{y}}/{d\tau }\\{dp_{z}}/{d\tau }\end{pmatrix}}}

เมื่อ τ {\displaystyle \tau \,} คือ proper time

ในกรอบนิ่งของวัตถุ องค์ประกอบเวลาของ four force จะเป็นศูนย์จนกว่า "มวลไม่แปรเปลี่ยน" ของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลง โดยที่ มันจะเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงคูณ c2 อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบของ four force ไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบของแรงสามมิติ เพราะว่าแรงในสามมิตินิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับเวลาของพิกดันั้น กล่าวคือ d p d t {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}} ในขณะที่ four force นิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับ proper time นั่นคือ d p d τ {\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}} .

ใน continuous medium density of force3 มิติรวมกับ density of power เพื่อสร้าง covariant 4-vector องค์ประกอบเชิงปริภูมิมาจากผลการหารแรงที่กระทำต่อเซลล์เล็กจิ๋ว (ใน 3 มิติ) โดยปริมาตรของเซลล์นั้น ส่วนองค์ประกอบเชิงเวลามาจากค่าลบของกำลังที่ส่งผ่านไปยังเซลล์หารด้วยปริมาตรของเซลล์นั้น เวกเตอร์นี้จะนำไปใช้ในเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้าด้านล่างต่อไป