การแปลงแบบลอเรนซ์ของ สนามไฟฟ้า ของประจุซึ่งเคลื่อนที่ไปในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่ ให้ผลการปรากฏของเทอมทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั่วไปในนาม สนามแม่เหล็ก ในทางกลับกัน สนาม แม่เหล็กที่เกิดขึ้นจากประจุซึ่งเคลื่อนที่จะหายไปและกลายเป็นสนาม ไฟฟ้าสถิต ทั้งหมดในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปกับประจุ สมการของแมกซ์เวลล์ จึงเข้ากันอย่างเห็นไห้ชัดกับผลเชิงสัมพัทธภาพพิเศษในแบบจำลองคลาสสิกของเอกภพ เมื่อสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงและสัมพันธ์กัน จึงเรียกว่าสนาม แม่เหล็กไฟฟ้า ทั้งนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ให้กฎการแปลงสำหรับวิธีที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าในกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกอันหนึ่ง

ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าใน 4 มิติ

สมการของแมกซ์เวลล์ ในรูปแบบสามมิตินั้นสอดคล้องกับเนื้อความเชิงกายภาพของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอยู่แล้ว แต่เราต้องเขียนมันใหม่เพื่อทำให้มันมีความไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน

ความหนาแน่นประจุ ρ {\displaystyle \rho \!} และความหนาแน่นกระแส [ J x , J y , J z ] {\displaystyle [J_{x},J_{y},J_{z}]\!} สามารถรวมกันใน current-charge 4-vector:

J μ = ( ρ J x J y J z ) {\displaystyle J^{\mu }={\begin{pmatrix}\rho \\J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{pmatrix}}}

กฎ การอนุรักษ์ประจุ จึงกลายเป็น

∂ μ J μ = 0. {\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0.\!}

สนามไฟฟ้า [ E x , E y , E z ] {\displaystyle [E_{x},E_{y},E_{z}]\!} และ magnetic induction [ B x , B y , B z ] {\displaystyle [B_{x},B_{y},B_{z}]\!} รวมกันใน (rank 2 antisymmetric covariant) electromagnetic field tensor

F μ ν = ( 0 − E x − E y − E z E x 0 B z − B y E y − B z 0 B x E z B y − B x 0 ) {\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}

ความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ f μ {\displaystyle f_{\mu }\!} กระทำต่อวัตถุโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะกลายเป็น

f μ = F μ ν J ν . {\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.\!}

กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ และ กฎของเกาส์ สำหรับสนามแม่เหล็กรวมกันในรูป

∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0. {\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0.\!}

ถึงแม้ว่าจะมีสมการปรากฏขึ้นถึง 64 สมการในที่นี้ จริง ๆ แล้วมันจะลดลงเหลือเพียงสี่สมการที่ไม่ขึ้นจากกัน โดยการใช้ antisymmetry ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เราสามารถลดรูปเหลือ identity (0=0) หรือไม่ก็ลบสามารถทั้งหมดออกไปยกเว้นสมาการที่มี λ,μ,ν = 1,2,3 หรือ 2,3,0 หรือ 3,0,1 หรือ 0,1,2.

electric displacement [ D x , D y , D z ] {\displaystyle [D_{x},D_{y},D_{z}]\!} และ magnetic field [ H x , H y , H z ] {\displaystyle [H_{x},H_{y},H_{z}]\!} รวมกันเป็น (rank 2 antisymmetric contravariant) electromagnetic displacement tensor

D μ ν = ( 0 D x D y D z − D x 0 H z − H y − D y − H z 0 H x − D z H y − H x 0 ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\-D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\-D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}}

กฎของแอมแปร์ และ กฎของเกาส์ รวมกันในรูป

∂ ν D μ ν = J μ . {\displaystyle \partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=J^{\mu }.\!}

ในสุญญากาศ constitutive equations คือ

μ 0 D μ ν = η μ α η ν β F α β . {\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }.}

Antisymmetry ลดสมการทั้ง 16 สมการนี้เหลือเพียงหกสมการที่ไม่ขึ้นจากกัน

ความหนาแน่นพลังงาน ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ารวมกันกับ with Poynting vector และ Maxwell stress tensor เพื่อสร้างเป็น stress-energy tensor 4 มิติ มันคือ (ความหนาแน่น) ฟลักซ์ของ momentum 4-vector ในรูป rank 2 mixed tensor มันสามารถเขียนเป็น

T α π = F α β D π β − 1 4 δ α π F μ ν D μ ν {\displaystyle T_{\alpha }^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}

เมื่อ δ α π {\displaystyle \delta _{\alpha }^{\pi }} คือ Kronecker delta เมื่อดัชนีตัวบนต่ำกว่า η มันจะสมมาตรและเป็นส่วนหนึ่งของแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วง

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเขียนเป็น

f μ + ∂ ν T μ ν = 0 {\displaystyle f_{\mu }+\partial _{\nu }T_{\mu }^{\nu }=0\!}

เมื่อ f μ {\displaystyle f_{\mu }\!} คือความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ สมการนี้สามารถสรุปได้จากสมการข้างต้นที่ผ่านมา (กับความพยายามอย่างสำคัญ)