แนวความคิดดั้งเดิมที่ใช้กับเซตจำกัดพังทลายลงเมื่อพบกับเซตอนันต์ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันทอร์ กอทท์ลอบ เฟรเกอ ริชาร์ด เดเดคินด์ และอีกหลายท่านไม่ยอมรับมุมมองของกาลิเลโอ (ซึ่งสืบทอดมาจากยูคลิด) ที่ว่า สิ่งทั้งหมดทั้งมวลไม่สามารถมีขนาดเท่ากับสิ่งที่เป็นบางส่วน ตัวอย่างหนึ่งคือปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต (Hilbert's paradox of the Grand Hotel)

เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวคิดดังกล่าว เนื่องจากมีลักษณะเฉพาะหลายอย่างที่อาจทำให้เซต A ใหญ่กว่าเซต B หรือมีขนาดเท่ากับเซต B ซึ่งสมมูลกันในเซตจำกัด แต่จะไม่สมมูลกันในเซตอนันต์อีกต่อไป ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันอาจสามารถทำให้ผลออกมาต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่เลือกโดยคันทอร์ เซตอนันต์ A จะใหญ่กว่าเซตอนันต์ B ในบางโอกาส ส่วนลักษณะเฉพาะอย่างอื่นสรุปว่า เซตอนันต์ A จะมีขนาดเท่ากับเซตอนันต์ B เสมอ ด้วยเหตุผลว่าเป็นอนันต์เหมือนกัน

สำหรับเซตจำกัด การนับก็ถือเป็นการสร้างความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตที่ถูกนับกับส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งเป็นต้นไป ดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบที่เพียงพอเพื่อการนับเซตอนันต์ เพราะการนับจะให้ผลที่เป็นหนึ่งเดียวบนเซตจำกัด ในขณะที่เซตอนันต์จะถูกแทนที่ด้วยความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเชิงอันดับที่ที่แตกต่างกันได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเราจะนับ (หรือเรียงลำดับ) เซตนั้นอย่างไร

นอกจากนั้น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่แตกต่างออกไปซึ่งใช้กับเซตอนันต์ จะทำให้เกิดการละเลย "กฎ" ต่าง ๆ ที่มีอยู่ในเซตจำกัด เช่นลักษณะเฉพาะของคันทอร์อันสงวนกฎไว้ว่า เซตหนึ่ง ๆ จะมีขนาดใหญ่กว่าเซตอื่นในบางโอกาส ได้ละเลยกฎการตัดสมาชิกออกจากเซตเพื่อทำให้ขนาดของเซตเล็กลง ในขณะที่ลักษณะเฉพาะแบบอื่น อาจสงวนกฎการตัดสมาชิกออกจากเซต แต่ละเลยกฎอย่างอื่นอีกก็ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ลักษณะเฉพาะบางอย่างอาจไม่ได้ละเลยกฎ "โดยตรง" แต่ก็ไม่ได้รักษากฎนั้นไว้ "โดยตรง" เช่นกัน ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่นำมาโต้แย้ง อาทิสัจพจน์การเลือกหรือสมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้เกิดความเป็นไปได้สามข้อดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ความเป็นไปได้แต่ละอย่างอาจละเลยกฎบางข้อ รักษากฎบางอย่าง ทำให้ไม่อาจตัดสินได้

ถ้าแนวคิดนี้ขยายไปถึงมัลติเซต กฎอย่างอื่นซึ่งใช้กับมัลติเซตจำกัดจะถูกละเลยมากยิ่งขึ้นไปอีก (สมมติว่าใช้แนวคิดของคันทอร์) เช่นกำหนดมัลติเซตอนันต์ A กับ B เมื่อ A ไม่ใหญ่กว่า B และ B ก็ไม่ใหญ่กว่า A แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่า A กับ B จะมีขนาดเท่ากัน แต่กฎนี้จะยังคงอยู่สำหรับมัลติเซตจำกัด กฎไตรวิภาคก็ถูกละเลยในกรณีที่เป็นมัลติเซตเช่นกัน

เดเดคินด์ได้นิยามเซตอนันต์ว่ามีขนาดอันหนึ่งที่เหมือนกัน โดยอย่างน้อยก็เท่ากับเซตย่อยแท้ของมันเอง สัญกรณ์อนันต์ในลักษณะนี้เรียกว่าเซตอนันต์เดเดคินด์ การนิยามนี้สามารถใช้งานได้กับสัจพจน์การเลือกในบางรูปแบบเท่านั้น อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์บางท่านก็สรุปว่าแนวคิดนี้ใช้งานไม่ได้

คันทอร์ได้แนะนำจำนวนเชิงการนับที่สูงขึ้นไปกว่านั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์บางเซต มีขนาดใหญ่กว่าเซตอนันต์อื่น ซึ่งจำนวนที่น้อยที่สุดก็คือภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ0)

ภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดอันหนึ่งของคันทอร์คือการแสดงว่าภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง ( c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} ) มีค่ามากกว่าภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ0) นั่นคือยังมีจำนวนจริง R อื่น ๆ อีกที่มากไปกว่าจำนวนธรรมชาติ N คันทอร์ได้แสดงไว้ว่า

c = 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}} (ดูเพิ่มที่ การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์)

สมมติฐานความต่อเนื่อง (continuum hypothesis) ระบุไว้ว่า ไม่มีจำนวนเชิงการนับใดที่มีค่าอยู่ระหว่าง ภาวะเชิงการนับของจำนวนจริงกับภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

c = ℵ 1 = ℶ 1 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}} (ดูเพิ่มที่ เบ็ทหนึ่ง)

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ยังไม่สามารถพิสูจน์หรือปฏิเสธได้ภายใต้ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์แบบ ZFC ซึ่งเป็นทฤษฎีที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง

เลขคณิตเชิงการนับก็สามารถใช้แสดงได้ว่า ไม่เพียงแค่จำนวนจุดบนเส้นจำนวนจริงจะเท่ากับจำนวนจุดบนส่วนของเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังเท่ากับจำนวนจุดบนระนาบสองมิติ ปริภูมิสามมิติ หรือแม้แต่ปริภูมิมิติจำกัดใด ๆ ผลลัพธ์เหล่านี้อาจขัดกับสามัญสำนึกอยู่บ้าง เพราะมันเป็นการสรุปว่าเซตย่อยแท้และเซตใหญ่แท้ของเซตอนันต์ S มีขนาดเท่ากันกับ S ถึงแม้ว่า S จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ในเซตย่อยของมัน และเซตใหญ่ของ S จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ใน S ก็ตาม

ผลลัพธ์อย่างแรกของสิ่งเหล่านี้ปรากฏโดยการพิจารณาฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นตัวอย่าง ซึ่งทำให้เกิดความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างช่วง (−½π, ½π) กับ R (ดูเพิ่มที่ ปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต)

ผลลัพธ์อย่างที่สองแสดงไว้โดยคันทอร์เมื่อ ค.ศ. 1878 (แต่ปรากฏสู่สาธารณชนเมื่อ ค.ศ. 1890) ในตอนที่ จูเซปเป เปอาโน นำเสนอเส้นโค้งเติมเต็มปริภูมิ (space-filling curve) ซึ่งเส้นโค้งจะบิดเลี้ยวไปจนกว่าจะเติมเต็มพื้นที่ว่างในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือทรงลูกบาศก์ หรือไฮเพอร์คิวบ์ หรือที่ว่างในมิติจำกัดใด ๆ อย่างเพียงพอ ซึ่งเส้นโค้งเหล่านี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์โดยตรงว่า จำนวนจุดในเส้นตรงหนึ่งเส้นจะเท่ากับจำนวนจุดในปริภูมิมิติจำกัดอันหนึ่ง แต่ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ใช้พิสูจน์ได้

คันทอร์ยังได้แสดงไว้อีกว่า เซตที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่า c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} อย่างแท้จริงก็ยังมีอยู่อีก อาทิ

• เซตของเซตย่อยทั้งหมดของ R เช่น เซตกำลังของ R เขียนแทนด้วย P (R) หรือ 2R
• เซต RR ของฟังก์ชันทั้งหมดจาก R ไป R

ซึ่งทั้งคู่มีภาวะเชิงการนับเป็น

2 c = ℶ 2 > c {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}} (ดูเพิ่มที่ เบ็ทสอง)

และทำให้เกิดภาวะเท่ากันระหว่าง c 2 = c ; c ℵ 0 = c ; c c = 2 c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}\;;\;{\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}\;;\;{\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}} ซึ่งสามารถแสดงโดยใช้เลขคณิตเชิงการนับดังนี้

c 2 = ( 2 ℵ 0 ) 2 = 2 2 × ℵ 0 = 2 ℵ 0 = c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}} c ℵ 0 = ( 2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 × ℵ 0 = 2 ℵ 0 = c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}} c c = ( 2 ℵ 0 ) c = 2 c × ℵ 0 = 2 c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}