เมนูนำทาง
เวกเตอร์สี่มิติ
เมื่อ γ {\displaystyle \left.\gamma \right.} คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)
เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:
U := d d τ x = d t d τ d d t x = ( γ c , γ u ) {\displaystyle {\mathsf {U}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {x}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma c,\gamma \mathbf {u} \right)}หรือ
( U μ ) := d d τ ( x μ ) = d t d τ d d t ( x μ ) = ( γ c , γ u i ) {\displaystyle \left(U^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(x^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma c,\gamma u^{i}\right)}เมื่อ
u i = d x i d t {\displaystyle u^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}}สำหรับ i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \left.i=1,2,3\right.} สังเกตว่า
U ⋅ U := U μ U μ = − c 2 {\displaystyle {\mathsf {U}}\cdot {\mathsf {U}}:=U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}}เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:
A := d d τ U = d 2 d τ 2 x = ( γ γ ˙ c , γ γ ˙ u + γ 2 u ˙ ) {\displaystyle {\mathsf {A}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {U}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {\dot {u}} \right)}หรือ
( A μ ) := d d τ ( U μ ) = d 2 d τ 2 ( x μ ) = ( γ γ ˙ c , γ γ ˙ u i + γ 2 u ˙ i ) {\displaystyle \left(A^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(U^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}u^{i}+\gamma ^{2}{\dot {u}}^{i}\right)}สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ A ⊥ U {\displaystyle {\mathsf {A}}\perp {\mathsf {U}}}
A ⋅ U := A μ U μ = 0 {\displaystyle {\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {U}}:=A^{\mu }U_{\mu }=0}เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย
P := m U = ( γ m c , γ m u ) = ( γ m c , p ) {\displaystyle {\mathsf {P}}:=m{\mathsf {U}}=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {u} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)}หรือ
( P μ ) := m ( U μ ) = ( γ m c , γ m u i ) = ( γ m c , p i ) {\displaystyle \left(P^{\mu }\right):=m\left(U^{\mu }\right)=\left(\gamma mc,\gamma mu^{i}\right)=\left(\gamma mc,p^{i}\right)}เมื่อ m {\displaystyle \left.m\right.} คือมวลของอนุภาค และ p = γ m u {\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} } คือโมเมนตัมของอนุภาค
เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย
F := d P d τ = m A = ( γ γ ˙ m c , γ f ) {\displaystyle {\mathsf {F}}:={\frac {\mathrm {d} {\mathsf {P}}}{\mathrm {d} \tau }}=m{\mathsf {A}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}mc,\gamma \mathbf {f} \right)}หรือ
เมื่อ
f ≡ m γ ˙ u + m γ u ˙ = d d t ( γ m u ) = d p d t {\displaystyle \mathbf {f} \equiv m{\dot {\gamma }}\mathbf {u} +m\gamma \mathbf {\dot {u}} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m\mathbf {u} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค
เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้
d K d t = f ⋅ u {\displaystyle {\frac {dK}{dt}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }เมนูนำทาง
เวกเตอร์สี่มิติใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: เวกเตอร์สี่มิติ