การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
L ( x , x ˙ ) = 1 2 m x ˙ 2 − 1 2 k x 2 {\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}
โดย x ( t ) {\displaystyle x(t)} คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ k {\displaystyle k} คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด x ( t ) {\displaystyle x(t)} คือ
p = ∂ L ( x , x ˙ ) ∂ x ˙ = m x ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial L(x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด x ( t ) {\displaystyle x(t)} ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
x ˙ = p m {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {p}{m}}}
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
H ( x , p ) = p x ˙ ( p ) − L ( x , x ˙ ( p ) ) = p p m − p 2 2 m + 1 2 k x 2 = p 2 2 m + 1 2 k x 2 {\displaystyle H(x,p)=p{\dot {x}}(p)-L(x,{\dot {x}}(p))=p{\frac {p}{m}}-{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}
สังเกตว่า
H ( x , p ) = p 2 2 m + 1 2 k x 2 = T ( p ) + V ( x ) {\displaystyle H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=T(p)+V(x)}
เมื่อ T ( p ) {\displaystyle T(p)} คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V ( x ) {\displaystyle V(x)} คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
V = V ( r ) {\displaystyle V=V(r)}
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
q 1 ( t ) = r ( t ) , q 2 ( t ) = θ ( t ) , q 3 ( t ) = ϕ ( t ) {\displaystyle q_{1}(t)=r(t),\qquad q_{2}(t)=\theta (t),\qquad q_{3}(t)=\phi (t)}
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
L ( r , ϕ ) = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) − V ( r ) {\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
p r = ∂ L ∂ r ˙ = m r ˙ {\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}
และ
p ϕ = ∂ L ∂ ϕ ˙ = m r 2 ϕ ˙ {\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}}
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
r ˙ = p r m {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {p_{r}}{m}}}

ϕ ˙ = p ϕ m r 2 {\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}}
สังเกตว่าอัตราเร็ว ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด ϕ {\displaystyle \phi } เองและฟังก์ชันของพิกัด r {\displaystyle r} ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
H ( r , ϕ , p r , p ϕ ) = p r 2 2 m + p ϕ 2 2 m r 2 + V ( r ) {\displaystyle H(r,\phi ,p_{r},p_{\phi })={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)}
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( v << c {\displaystyle v<<c} ) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
L ( r , r ˙ ) = 1 2 m r ˙ 2 − e ϕ ( r ) {\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)}
โดยที่ e {\displaystyle e} คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค ϕ = ϕ ( r ) {\displaystyle \phi =\phi (r)} คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
p r = m r ˙ {\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}}
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum m r ˙ {\displaystyle m{\dot {r}}} ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
H ( r , p ) = 1 2 m r ˙ 2 + e ϕ ( r ) = p r 2 2 m + e ϕ ( r ) {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {\mathbf {p} _{r}^{2}}{2m}}+e\phi (r)}
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( v << c {\displaystyle v<<c} ) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
L ( r , r ˙ ) = 1 2 m r ˙ 2 − e ϕ ( r ) + e c A ⋅ r ˙ {\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}
โดยที่ A = A ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} (r)} คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
p r = m r ˙ + e c A {\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} }
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum m r ˙ {\displaystyle m{\dot {r}}}

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
H ( r , p ) = 1 2 m r ˙ 2 + e ϕ ( r ) = 1 2 m ( p − e c A ) 2 + e ϕ ( r ) {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi (r)}
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป e c A ⋅ r ˙ ( p r ) {\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {p} _{r})} ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก