สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
L ( q , λ q ˙ ) = λ L ( q , q ˙ ) {\displaystyle L(q,\lambda {\dot {q}})=\lambda L(q,{\dot {q}})}
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
p q ˙ = ∂ L ∂ q ˙ q ˙ = L {\displaystyle p{\dot {q}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=L}
ดังนั้น
H ( q , p ) = p q ˙ − L ( q , p ) = L − L = 0 {\displaystyle H(q,p)=p{\dot {q}}-L(q,p)=L-L=0}

อนุภาค relativistic

[2] ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา t {\displaystyle t} เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ τ {\displaystyle \tau } ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
x μ = x μ ( τ ) = ( t ( τ ) , x ( τ ) ) μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=\left(t(\tau ),\mathbf {x} (\tau )\right)\qquad \qquad \mu =0,1,2,3}
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก τ {\displaystyle \tau } ที่ทำให้
∑ μ x ˙ μ x ˙ μ ≡ ∑ μ d x μ d τ d x μ d τ = 1 {\displaystyle \sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }\equiv \sum _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx_{\mu }}{d\tau }}=1}
เราจะสามารถใช้ τ {\displaystyle \tau } เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร x ˙ μ = d x μ d τ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
L ( x ˙ ) = m ∑ μ x ˙ μ x ˙ μ {\displaystyle L({\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}}
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
L ( λ x ˙ ) = m ∑ μ λ x ˙ μ λ x ˙ μ = λ m ∑ μ x ˙ μ x ˙ μ = λ L ( x ˙ ) {\displaystyle L(\lambda {\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }\lambda {\dot {x}}^{\mu }\lambda {\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda L({\dot {x}})}
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime ( x ˙ μ ) {\displaystyle ({\dot {x}}^{\mu })} คือ
p μ ( τ ) = ∂ L ∂ x ˙ μ = m x ˙ μ ∑ ν x ˙ ν x ˙ ν {\displaystyle p_{\mu }(\tau )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}}
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
H ( x , p ) = ∑ μ ∂ L ∂ x ˙ μ x ˙ μ − L = L − L = 0 {\displaystyle H(x,p)=\sum _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}{\dot {x}}^{\mu }-L=L-L=0}

สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
p μ ( λ x ˙ ) = m λ x ˙ μ ∑ ν λ 2 x ˙ ν x ˙ ν = p μ ( x ˙ ) {\displaystyle p_{\mu }(\lambda {\dot {x}})={\frac {m\lambda {\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }\lambda ^{2}{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}=p_{\mu }({\dot {x}})}
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ x ˙ μ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }} ที่ลากระหว่างจุด x ˙ μ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }} ใดๆกับจุด λ x ˙ μ {\displaystyle \lambda {\dot {x}}^{\mu }} จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
p 2 ≡ ∑ μ p μ p μ = m x ˙ μ ∑ ν x ˙ ν x ˙ ν m x ˙ μ ∑ σ x ˙ σ x ˙ σ = m 2 {\displaystyle p^{2}\equiv \sum _{\mu }p_{\mu }p^{\mu }={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}{\frac {m{\dot {x}}^{\mu }}{\sqrt {\sum _{\sigma }{\dot {x}}^{\sigma }{\dot {x}}_{\sigma }}}}=m^{2}}
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
p 2 = E 2 − p 2 = m 2 {\displaystyle p^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ i {\displaystyle i} และหลักที่ j {\displaystyle j} คือ
∂ p i ∂ q ˙ j = ∂ 2 L ∂ q ˙ j ∂ q ˙ i i , j = 1 , 2 , 3 , . . . N {\displaystyle {\frac {\partial {p_{i}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i,j=1,2,3,...N}
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
q ˙ i = q ˙ i ( q , p , t ) i = 1 , 2 , . . . , N {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(q,p,t)\qquad \qquad i=1,2,...,N}
ก็ต่อเมื่อ
det ( ∂ 2 L ∂ q ˙ j ∂ q ˙ i ) ≠ 0 {\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\neq 0}

ส่วนในกรณีที่
det ( ∂ 2 L ∂ q ˙ j ∂ q ˙ i ) = 0 {\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0}
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง[3][4]