การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม ( q , p ) {\displaystyle {(q,p)}} ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น ( q 0 , p 0 ) {\displaystyle {(q_{0},p_{0})}} การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

q = q ( q 0 , p 0 , t ) {\displaystyle q=q{(q_{0},p_{0},t)}} -----1 p = p ( q 0 , p 0 , t ) {\displaystyle p=p{(q_{0},p_{0},t)}} -----2

สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

Q i ˙ = ∂ K ∂ P i = 0 P i ˙ = − ∂ K ∂ Q i = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}&=0\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}&=0\end{aligned}}}

เมื่อ K {\displaystyle K} เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ ( P , Q ) {\displaystyle {(P,Q)}} เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า ( H ) {\displaystyle (H)} และแฮมินโทเนียนใหม่ ( K ) {\displaystyle (K)} ได้ดังสมการ

K = H + ∂ F ∂ t {\displaystyle K=H+{\partial F \over \partial t}}

โดย F {\displaystyle F} เป็น Generating function หรือฟังก์ชันกำเนิด ดังนั้น ถ้า K = 0 {\displaystyle K=0} ฟังก์ชัน F {\displaystyle F} จะเป็นไปตามสมการ

H ( q , p , t ) + ∂ F ∂ t = 0 {\displaystyle H(q,p,t)+{\partial F \over \partial t}=0}

ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น

H + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle H+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}

โดยที่ S = S ( q 1 , q 2 , … , q N , t ) {\displaystyle S=S(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N},t)} เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)

สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้