ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี 2376 โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation)2. หลักการแปรผัน (Variational Principle)เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
p ( t ) ≡ ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q ˙ {\displaystyle p(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q,{\dot {q}},t\right)}{\partial {\dot {q}}}}}
โดย q ( t ) {\displaystyle q(t)} คือพิกัดทั่วไป q ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ t {\displaystyle t} คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว q ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
H ( q ( t ) , p ( t ) , t ) = p ( t ) q ˙ ( q , p , t ) − L ( q , q ˙ ( q , p , t ) , t ) {\displaystyle H(q(t),p(t),t)=p(t){\dot {q}}(q,p,t)-L(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)}
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด N {\displaystyle N} ตัว
q ≡ { q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , . . . , q N ( t ) } {\displaystyle q\equiv \left\{q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{N}(t)\right\}}
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
L ( q , q ˙ , t ) ≡ L ( q 1 , q 2 , . . . q N , q ˙ 1 , q ˙ 2 , . . . , q ˙ N , t ) {\displaystyle L\left(q,{\dot {q}},t\right)\equiv L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} ได้โดย
p i ( t ) ≡ ∂ L ( q 1 , q 2 , . . . q N , q ˙ 1 , q ˙ 2 , . . . , q ˙ N , t ) ∂ q ˙ i i = 1 , 2 , . . . , N {\displaystyle p_{i}(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i=1,2,...,N}
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
q ˙ i = f i ( q 1 , q 2 , . . . , q N , p 1 , p 2 , . . . , p N , t ) {\displaystyle {\dot {q}}_{i}=f_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t\right)}
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
H ( q ( t ) , p ( t ) , t ) = ∑ i p i ( t ) q ˙ i ( q , p , t ) − L ( q , q ˙ ( q , p , t ) , t ) {\displaystyle H\left(q(t),p(t),t\right)=\sum _{i}p_{i}(t){\dot {q}}_{i}(q,p,t)-L\left(q,{\dot {q}}(q,p,t),t\right)}

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ ∑ i q ˙ i p i − L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)} เราจะได้
δ ( ∑ i q ˙ i p i − L ) = ∑ i q ˙ i δ p i − ∑ i ∂ L ∂ q i δ q i − ∂ L ∂ t δ t + ∑ i ( p i − ∂ L ∂ q ˙ i ) δ q ˙ i {\displaystyle \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left(p_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\delta {\dot {q}}_{i}}
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}} ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ δ q i {\displaystyle \delta q_{i}} เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
δ H ( q , p , t ) = ∑ i q ˙ i δ p i − ∑ i ∂ L ∂ q i δ q i − ∂ L ∂ t δ t {\displaystyle \delta H(q,p,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t}
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
q ˙ i = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
q ˙ i = ∂ H ∂ p i ⟺ p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\Longleftrightarrow p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ ∑ i q ˙ i p i − H ( q , p , t ) {\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)} จะพบว่า
δ ( ∑ i q ˙ i p i − H ( q , p , t ) ) = ∑ i p i δ q ˙ i − ∑ i ∂ H ∂ q i δ q i − ∂ H ∂ t δ t + ∑ i ( q ˙ i − ∂ H ∂ p i ) δ p i {\displaystyle \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)\right)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right)\delta p_{i}}
และเมื่อใช้นิยามของ q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}} จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
δ L ( q , q ˙ , t ) = ∑ i p i δ q ˙ i − ∑ i ∂ H ∂ q i δ q i − ∂ H ∂ t δ t {\displaystyle \delta L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t}
นอกจากนั้นเราพบว่า
∂ L ∂ q i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}
และ
∂ L ∂ t = − ∂ H ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}}
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร q i {\displaystyle q_{i}} และ t {\displaystyle t} ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

การแปลงแบบคาโนนิคัล

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด q i {\displaystyle q_{i}} ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ Q i {\displaystyle Q_{i}} ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น Q i = Q i ( q k , p k , t ) {\displaystyle Q_{i}=Q_{i}{(q_{k},p_{k},t)}} และ P i = P i ( q k , p k , t ) {\displaystyle P_{i}=P_{i}{(q_{k},p_{k},t)}}

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง Q {\displaystyle Q} และ P {\displaystyle P} ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน K ( Q , P , t ) {\displaystyle K{(Q,P,t)}} ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

Q i ˙ = ∂ K ∂ P i P i ˙ = − ∂ K ∂ Q i {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}\end{aligned}}}

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน K {\displaystyle K} ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัลการจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม กับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

1. G ≡ G 1 ( q , Q , t ) {\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}

2. G ≡ − Q ⋅ P + G 2 ( q , P , t ) {\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}

3. G ≡ q ⋅ p + G 3 ( p , Q , t ) {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}

4. G ≡ q ⋅ p − Q ⋅ P + G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}